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  • 线性代数-矩阵的初等变换

    矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算,初等变换包括三种初等行变换与三种初等列变换。分别为:

    • 对换变换,即i行与j行进行交换,记作ri <->rj;
    • 数乘变换,非零常数k乘以矩阵的第i行,记作kri;
    • 倍加交换,矩阵第i行的k倍加到第j行上,记作rj + kri

    对应关系换成列,即为三种初等列变换。矩阵变换可以化简矩阵、解线性方程组、求矩阵的逆矩阵。

    行阶梯形的定义:

    1、对于行而言,若有零行,则零行均在非零行的下方;

    2、从第一行开始,每行第一个非零元素前面的零逐行增加。

    对于矩阵A,很显然符合行阶梯形的定义:

    egin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5\
    0 & 2 & 4 & 5 & 6\
    0 & 0 & 0 & 0 & 7\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0
    end{bmatrix}

    对第一行作 r1 - r2 变换得到矩阵:

    egin{bmatrix}
    1 & 0 & -1 & -1 & -1\
    0 & 2 & 4 & 5 & 6\
    0 & 0 & 0 & 0 & 7 \
    0 & 0 & 0 & 0 & 0
    end{bmatrix}

     继续作 0.5 r2 变换

    egin{bmatrix}
    1 & 0 & -1 & -1 & -1\
    0 & 1 & 2 & 5/2 & 3\
    0 & 0 & 0 & 0 & 7\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0
    end{bmatrix}

     r2 - 3/7 r3; r1 + 1/7r3 变换

    egin{bmatrix}
    1 & 0 & -1 & -1 & 0\
    0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\
    0 & 0 & 0 & 0 & 7\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0
    end{bmatrix}

    1/7 r3 变换

    egin{bmatrix}
    1 & 0 & -1 & -1 & 0\
    0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0
    end{bmatrix}

    对于矩阵Amxn,通过有限次初等变换可以转换成行阶梯形的形式。

    A的最简形:非零行的第一个非零元素是1,且1所在的列,非零元素均为零。显然最后一个行阶梯形矩阵符合A的行最简形定义。

    A的标准型:左上角是一个r阶的单位矩阵,其余元素为零。

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