相似矩阵及对角化

向量数量积（点积）

向量内积

[x,y] = x^Ty

正交与线性无关

定理：若n维向量a1，a2，...，ar是一组两两正交的非零向量，则a1，a2，...，ar线性无关

基：向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。

规范正交基：n维向量是向量空间V的一个基，如果其中向量两两正交，且都是单位向量；

规范正交化：为一个基寻找与之等价的规范正交基的过程；方法：（基的规范正交化）施密特Schimidt正交化过程

正交矩阵：

满足 A^TA=E 即A^-1 = A^T    ，简称正交阵

A为正交阵的充要条件：A的列向量都是单位向量，且两两正交。

特征值与特征向量

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

相似矩阵

若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同；

推论：若n阶矩阵A与对角阵[r1 ...r n]相似，则r1 ...r n即是A的n个特征值；

对角化

n阶矩阵A与对角阵相似（A能对角化）的充要条件：A有n个线性无关的特征向量；

推论： 如果n阶矩阵A的n的特征值互不相等，则A与对角阵相似；