bzoj3876: [Ahoi2014]支线剧情

神犇题解：http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/43024221

题意：给定一个DAG，1为起始点，任意一个点可以直接回到1，每条边有经过代价，求一种最优方案使得每条边至少经过一次，代价最小。

无源汇有下界最小费用可行流。

考虑我们对于无源汇的建图：对于每个点，它的入度下界为容量，S向它拉一条边，出度下界为容量，其向T连一条边，跑一边最大流即可。

这里我们建图实际上一样，但是加上了费用，具体建图如下：

对于x->y，费用为z

S向y建容量为1，费用为z的边（对应无源汇里的入度处理）

x向y建容量INF，费用为z的边（即自由流）

对于每一个点x，假设其出度为a

x向T建容量为a，费用为0的边（出度处理）（注意这里不要加上费用，因为已经在入度处理的时候就加过了）

x向1建容量INF，费用为0的边（对应题意）

然后跑最小费用流就可以了。

膜拜ihopenot大爷。

实际上有一个很大的建图优化，也是无源汇建图的优化，即合并入出度并且相互抵消。但是对于这道题就不好做，因为有费用，不过可以这么想：既然每一条边都要走，我们就直接把费用抽出来，即答案一开始就为所有边走一次的代价，然后这样入度的费用就变为0了。然后再与出度进行抵消，最后边的数量大大减少。

实践证明，从原来改到现在，时间从8000多优化到100多ms。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50005
#define INF 1e9
inline int read(){
    int x=0,f=1;char a=getchar();
    while(a<'0' || a>'9') {if(a=='-') f=-1; a=getchar();}
    while(a>='0' && a<='9') x=x*10+a-'0',a=getchar();
    return x*f;
}
int ans,n,cnt,a[N],p[N],d[N],head[N],S,T;
bool vis[N];
queue<int>q;
struct edges{
    int fr,to,cap,flow,cost,next;
}e[2*N];
inline void insert(int u,int v,int f,int c){
    e[cnt]=(edges){u,v,f,0,c,head[u]};head[u]=cnt++;
    e[cnt]=(edges){v,u,0,0,-c,head[v]};head[v]=cnt++;
}
inline bool spfa(){
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[S]=0; a[S]=INF; q.push(S);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front(); q.pop(); vis[x]=0;
        for(int i=head[x];i>=0;i=e[i].next)
            if(d[e[i].to]>d[x]+e[i].cost && e[i].flow<e[i].cap){
                d[e[i].to]=d[x]+e[i].cost; p[e[i].to]=i;
                a[e[i].to]=min(a[x],e[i].cap-e[i].flow);
                if(!vis[e[i].to]) vis[e[i].to]=1,q.push(e[i].to);
            }
    }
    return d[T]<INF;
}
inline void mincf(){
    ans+=a[T]*d[T];
    int u=T;
    while(u!=S){
        e[p[u]].flow+=a[T];
        e[p[u]^1].flow-=a[T];
        u=e[p[u]].fr;
    }
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read(); S=0; T=n+1;
    for(int a,i=1;i<=n;i++){
        a=read(); insert(i,T,a,0); 
        if(i!=1) insert(i,1,INF,0);
        for(int to,co,j=1;j<=a;j++)
        to=read(),co=read(),insert(i,to,INF,co),insert(S,to,1,co);
    }
    while(spfa()) mincf();
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

优化建图：

for(int a,i=1;i<=n;i++){
        a=read(); cd[i]=a;
        if(i!=1) insert(i,1,INF,0);
        for(int to,co,j=1;j<=a;j++)
        to=read(),co=read(),ans+=co,r[to]++,insert(i,to,INF,co);
    }
    for(int i=2;i<=n;i++) 
    if(r[i]>cd[i]) insert(S,i,r[i]-cd[i],0);
    else insert(i,T,cd[i]-r[i],0);