【LeetCode每日一题】2020.6.13 70.爬楼梯

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

分析：

​ 这是一道经典的动态规划题。很早之前就写过。但是现在学会了使用滚动数组来优化空间复杂度。官方题解还给出了一个利用矩阵快速幂，达到(O(lgn))复杂度的方法。这个方法的原理可以看官方题解，这里给出Python代码实现。

代码（Python）：

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        for i in range(3, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]


# 滚动数组优化
class Solution2:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1

        pre = 1
        last = 2
        for _ in range(3, n + 1):
            temp = pre
            pre = last
            last = temp + pre
        return last


# 矩阵快速幂
class Solution3:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        q = [[1, 1], [1, 0]]
        res = self.pow(q, n)
        return res[0][0]
    
    def pow(self, a: List[List[int]], n: int) -> List[List[int]]:
        ret = [[1, 0], [0, 1]]
        while n > 0:
            if n & 1 == 1:
                ret = self.multiply(ret, a)
            n >>= 1
            a = self.multiply(a, a)
        return ret

    def multiply(self, a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
        c = [[0, 0], [0, 0]]
        for i in range(2):
            for j in range(2):
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j]
        return c