【模板篇】树状数组们（四）

这是第四篇树状数组了。。
我们之前讲过树状数组的以下几大作用：

1. 单点加区间查 不会的话-> http://blog.csdn.net/enzymii/article/details/54952957
2. 区间加单点查 不会的话-> http://blog.csdn.net/enzymii/article/details/54965280
3. 区间加区间查 不会的话-> http://blog.csdn.net/enzymii/article/details/55106863

然而上面的会不会的无所谓啊。。。
因为上面我们查的都是区间和性质的东西。。（就是用前缀和差分能减出来的东西_ (:з」∠) _）

而我们今天要做的，是：

单点修改，区间查询最大值

在这里，我要给大家讲一下时间复杂度，不过你们要答应我我说完不要走
我们拿能干查询最大值的两样其他东西来比，线段树和rmq..
用树状数组实现这个功能时，（又要画丑陋的表格）

种类	线段树	树状数组	rmq
初始化	nlogn	< nlogn	nlogn
查询	logn	logn	1
修改	单点&区间logn	单点< logn*logn	无法修改
上手难度	稍复杂	较简单	简单
常数	大(没说你 zkw)	小	小
码长	稍长	短	不长

话说这么一比，树状数组究竟优势在哪呢
然后因为lowbit的缘故时间复杂度会玄学很多。。看脸和数据了。。欧洲人民发来贺电
无所谓了。。(⊙v⊙)嗯就是这样。。
我说过（吗？）之前讲的功能都可以不会。。
但我们还是要有一些知识储备的……比如……树状数组优美的、精巧的划分区间的方式。。
各位大拿还记得小角落里的lowbit么~
树状数组中第i个点所记录的，是[i-lowbit(i)+1,i]的这lowbit(i)个数的信息。我们既然要查询的是最大值，自然这个数组中维护的就是我们最可爱的最大值咯~~
说人话：树状数组上的c[i]表示a[i-lowbit(i)+1]..a[i]范围内的最大值..

然后查询起来的代码似乎就像这样：

int ask(int l,int r){
        int ans=a[r];
        while(1){
            ans=max(ans,a[r]);
            if(l==r) break;
            for(r--;r-lb(r)>=l;r-=lb(r))
                ans=max(ans,c[r]);
        }
        return ans;
    }

也可以看出来，其实真正的循环次数很少的……（logn也就是个上界，松的很……）

修改起来看上去慢一点，按照这种优美的划分区间的方式，修改我们要这么写（注意是把点x 改为 s）

void update(int x,int s){
        a[x]=s;
        for(;x<=n;x+=lb(x)){
            c[x]=s;
            for(int i=1;i<lb(x);i<<=1)
                c[x]=max(c[x],c[x-i]);
        }
    }

这里看来，上界确实要到logn*logn的样子？
但是，内层循环只需要循环到lowbit(i).. （也就是说当n是奇数的时候是O(1)的（逃~））
然后，就到了我们的建树。。（蛤？建树不是加点就行了么..）
喂~这里的修改挺慢的啊~
我们有< nlogn的建树方式呢，为什么不用呢= =
建树的代码：

 void init(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            c[i]=a[i];
            for(int j=1;j<lb(i);j<<=1)
                c[i]=max(c[i],c[i-j]);
        }
    } 

这样的话功能就讲完了，大家要想练练手的话我们有hdu1754..
题目传送门在这里：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1754（hdu的中文题目..）

最后附对于此题，本蒟蒻弱智的模板：

#include <cstdio>
#include <cstring>

#define gc getchar()

const int INF=~0U>>1;

class Binary_Tree4{
private:
    static const int N=0x186AF<<1;
    int a[N],c[N],n;

    inline int lb(int x){
        return x&-x;
    }

    inline int max(const int &a,const int &b){
        if(a<b) return b; return a;
    }

    inline int min(const int &a,const int &b){
        if(a<b) return a; return b;
    }

    inline int gnum(){
        int a=0;char c=gc;bool f=0;
        for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-'&&c!='U'&&c!='Q';c=gc);
        if(c=='-') f=1,c=gc; 
        if(c=='U') return -21;
        if(c=='Q') return -17;
        for(;c>='0'&&c<='9';c=gc) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0';
        if(f) return -a; return a;
    }

    void init(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            c[i]=a[i];
            for(int j=1;j<lb(i);j<<=1)
                c[i]=max(c[i],c[i-j]);
        }
    }

    void update(int x,int s){  //将点x改为 改为 改为s 
        a[x]=s;
        for(;x<=n;x+=lb(x)){
            c[x]=s;
            for(int i=1;i<lb(x);i<<=1)
                c[x]=max(c[x],c[x-i]);
        }
    }

    int ask(int l,int r){
        int ans=a[r];
        while(1){
            ans=max(ans,a[r]);
            if(l==r) break;
            for(r--;r-lb(r)>=l;r-=lb(r))
                ans=max(ans,c[r]);
        }
        return ans;
    }

public:
    void work(){
        int m;
        while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
            memset(a,0,sizeof(a));
            memset(c,0,sizeof(c));
            for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=gnum(); init();
            for(int i=1;i<=m;i++){
                int opt=gnum(),u=gnum(),v=gnum();
                if(opt==-21) update(u,v);
                if(opt==-17) printf("%d
",ask(u,v));
            }
        }
    }
};

int main(){
    Binary_Tree4 tree;
    tree.work();
} 

O(∩_∩)O收工~