高等数学(10) 微分中值定理

微分中值定理(一系列定理总称)-罗尔定理

费马引理->罗尔定理->拉格朗日中值定理->柯西中值定理

 

导数为0的点称为驻点

连续、可导、在端点函数值相等。

2.微分中值定理——拉格朗日中值定理

微分中值定理——柯西中值定理

总结一下:

费马引理:

函数f(x)在点ξ的某邻域U（ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U（ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f '(ξ）=0。

罗尔定理:

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。:

 

拉格朗日中值定理:

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点

使等式

 

成立。

 

拉格朗日中值定理特别像微分近似公式，所以拉格朗日中值定理也叫微分中值定理。

10-4 洛必达法则 00型未定式

注意:在满足定理条件下有些时候洛必达法则也不能解决问题

洛必达法则——其他未定式

 

10-6 泰勒公式 泰勒中值定理

 

 

10-7 麦克劳林公式

 

 

 

10-8 函数的单调性

 

9 函数的凹凸性

拐点:凹凸性改变的点叫拐点

小结

10 函数极值的概念

注意

注1:函数的极值是函数的局部性质

注2:对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点

11 函数极值求法

如果二阶导数为0的时候,就不能用这个了还是用第一充分条件

12 函数的最大值和最小值

2.连续函数的最值

13 函数图形的描绘

一阶导数为0 驻点

二阶导数为0 拐点的必要条件

小结

1.曲线渐近线球阀

 水平渐近线和垂直渐近线

2.函数图形的描绘方法