【algo&ds】1.时间复杂度和空间复杂度分析

1.时间复杂度分析O(f(n))

分析方法

• 只关注循环执行次数最多的一段代码
• 加法原则
• 乘法原则
• 高优先级原则

常见时间复杂度量级

多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2^n) 和 O(n!)。

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。

2.O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)

3.O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度.

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。

对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)

因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)

4.O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))

5.空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2)，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。

6.四个复杂度概念

最好情况时间复杂度（best case time complexity）、最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）、平均情况时间复杂度（average case time complexity）、均摊时间复杂度（amortized time complexity）

最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度

最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度

最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，我们需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度，简称为平均时间复杂度

要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，将各种情况发生的概率考虑进去，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：
不考虑概率

考虑概率

在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。

均摊时间复杂度，平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。