【algo&ds】8.最小生成树

1.最小生成树介绍

什么是最小生成树？

最小生成树（Minimum spanning tree，MST）是在一个给定的无向图G(V,E)中求一棵树T，使得这棵树拥有图G中的所有顶点，且所有边都是来自图G中的边，并且满足整棵树的边权值和最小。

2.prim算法

和Dijkstra算法很像！！请看如下Gif图，prim算法的核心思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中间点，优化所有从u能到达的顶点v与集合s之间的最短距离。这样的操作执行n次，直到集合s中包含所有顶点。

不同的是，Dijkstra算法中的dist是从源点s到顶点w的最短路径；而prim算法中的dist是从集合S到顶点w的最短路径，以下是他们的伪码描述对比，关于Dijkstra算法的详细描述请参考文章

算法实现：

#include<iostream>
#include<vector>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex; 
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex];   // 并查集 
int dist[MaxVertex]; // 距离 
int Nv;    // 结点 
int Ne;    // 边 
int sum;  // 权重和 
using namespace std; 
vector<Vertex> MST;  // 最小生成树 

// 初始化图信息 
void build(){
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>Nv>>Ne;
	for(int i=1;i<=Nv;i++){
		for(int j=1;j<=Nv;j++)
			G[i][j] = 0;  // 初始化图 
		dist[i] = INF;   // 初始化距离
		parent[i] = -1;  // 初始化并查集 
	}
	// 初始化点
	for(int i=0;i<Ne;i++){
		cin>>v1>>v2>>w;
		G[v1][v2] = w;
		G[v2][v1] = w;
	}
}

// Prim算法前的初始化 
void IniPrim(Vertex s){
	dist[s] = 0;
	MST.push_back(s);
	for(Vertex i =1;i<=Nv;i++)
		if(G[s][i]){
			dist[i] = G[s][i];
			parent[i] = s;
		} 
}

// 查找未收录中dist最小的点 
Vertex FindMin(){
	int min = INF;
	Vertex xb = -1;
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		if(dist[i] && dist[i] < min){ 
			min = dist[i];
			xb = i;
		}
	return xb;
}

void output(){
	cout<<"被收录顺序："<<endl; 
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		cout<<MST[i]<<" ";
	cout<<"权重和为："<<sum<<endl; 
	cout<<"该生成树为："<<endl; 
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		cout<<parent[i]<<" ";
}

void Prim(Vertex s){
	IniPrim(s);
	while(1){
		Vertex v = FindMin();
		if(v == -1)
			break;
		sum += dist[v];
		dist[v] = 0;
		MST.push_back(v);
		for(Vertex w=1;w<=Nv;w++)
			if(G[v][w] && dist[w])
				if(G[v][w] < dist[w]){
					dist[w] = G[v][w];
					parent[w] = v;
				}
	}
}


int main(){
	build();
	Prim(1);
	output();
	return 0;
} 

关于prim算法的更加详细讲解请参考视频

3.kruskal算法

Kruskal算法也可以用来解决最小生成树的问题，其算法思想很容易理解，典型的边贪心，其算法思想为：

• 在初始状态时隐去图中所有的边，这样图中每个顶点都是一个单独的连通块，一共有n个连通块
• 对所有边按边权从小到大进行排序
• 按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入当前最小生成树中，否则，将边舍弃。
• 重复执行上一步骤，直到最小生成树中的边数等于总顶点数减一 或者测试完所有边时结束；如果结束时，最小生成树的边数小于总顶点数减一，说明该图不连通。

请看下面的Gif图！

算法实现：

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex; 
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex];   // 并查集最小生成树 
int Nv;    // 结点 
int Ne;    // 边 
int sum;  // 权重和 
using namespace std; 
struct Node{
	Vertex v1;
	Vertex v2;
	int weight; // 权重 
	// 重载运算符成最大堆 
	bool operator < (const Node &a) const
	{
		return weight>a.weight;
	}
};
vector<Node> MST;  // 最小生成树 
priority_queue<Node> q;   // 最小堆 

// 初始化图信息 
void build(){
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>Nv>>Ne;
	for(int i=1;i<=Nv;i++){
		for(int j=1;j<=Nv;j++)
			G[i][j] = 0;  // 初始化图
		parent[i] = -1;
	}
	// 初始化点
	for(int i=0;i<Ne;i++){
		cin>>v1>>v2>>w;
		struct Node tmpE;
		tmpE.v1 = v1;
		tmpE.v2 = v2;
		tmpE.weight = w;
		q.push(tmpE); 
	}
}

//  路径压缩查找 
int Find(int x){
	if(parent[x] < 0)
		return x;
	else
		return parent[x] = Find(parent[x]);
} 

//  按秩归并 
void Union(int x1,int x2){
	if(parent[x1] < parent[x2]){
		parent[x1] += parent[x2];
		parent[x2] = x1;
	}else{
		parent[x2] += parent[x1];
		parent[x1] = x2;
	}
} 

void Kruskal(){
	// 最小生成树的边不到 Nv-1 条且还有边 
	while(MST.size()!= Nv-1 && !q.empty()){
		Node E = q.top();  // 从最小堆取出一条权重最小的边
		q.pop(); // 出队这条边 
		if(Find(E.v1) != Find(E.v2)){  // 检测两条边是否在同一集合 
			sum += E.weight; 
			Union(E.v1,E.v2);     // 并起来 
			MST.push_back(E);
		}
	}
	
} 


void output(){
	cout<<"被收录顺序："<<endl; 
	for(Vertex i=0;i<Nv;i++)
		cout<<MST[i].weight<<" ";
	cout<<"权重和为："<<sum<<endl; 
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		cout<<parent[i]<<" ";
	cout<<endl;
}


int main(){
	build();
	Kruskal();
	output();
	return 0;
} 

关于kruskal算法更详细的讲解请参考视频