「弎」群
一、前备知识（NOIp数论）
模运算
如果(a=qb+r)且(0leq r<b)，则称r是b除a的最小正剩余。特别地，
r=0时 (b|a)（a是b的倍数，b是a的约数）。
有性质如下：
① (a|b,a|c→a|(b+c))
② (a|b,b|c→a|c) (传递性)
如果(a_1=q_1cdot b+r_1,a_2=q_2cdot b+r_2)，可以将(r_1=r_2)表示为 (a_1equiv a_2 (mod b))。（(a_1)与 (a_2) 在模b意义下相等）
有性质如下（在模m意义下）：
① (a_1equiv a_2, a_2equiv a_3 →a_1equiv a_3)
② (aequiv b,cequiv d→a+cequiv b+d,a-cequiv b-d,acequiv bd)
（(equiv)对于加减乘均成立）
关于模的一些概念
模：表示一个集合(Ssubseteq Z)，集合对加减法封闭.
生成模: 集合(T)的生成模是，最小的模(S)，使得(Tsubseteq S).
实际意义：若(ain T,bin T,a+b otin T~OR~a-b otin T)，将(a+b,a-b)加入(T)，不断进行。
有性质：模(S)一定是某个数所有倍数的集合。
证明如下：
若(x)是(S)中的最小正整数
假设存在(y),不是(x)的倍数
取(r=ymod x),则(rin S)么(0<r<x)，矛盾。（最小正剩余）
因此，模(S)一定是某个数所有倍数的集合。
最大公约数
(a,b)的最大公约数用((a,b))表示。
有性质：
① ((a,b))是({a,b})的生成模中的最小正整数。
证明如下：
设(c)是({a,b})的生成模中的最小正整数，那么({a,b})的生成模中的数都是(c)的倍数，(c)的所有倍数都在生成模中，所以 (c|a,c|b)，且 (c|(a,b))。
去证：(c)是(a,b)的公约数。
由于任意一个(a,b)的公约数都是((a,b))的约数，((a,b))的约数都是(a,b)的公约数，可知(c)是(a,b)的公约数。
②((a,b)=(a,a+b),(a,b)=(a,b-a))
(→(a,b)=(a,bmod a)) （辗转相除法）
辗转相除法是(O(log{max{(|a|,|b|)}}))的，证明如下：
用(a_0,a_1)表示初始两个数
(a_i=a_{i-2}mod a_{i-1})直到某个(a_k=0)，则((a_0,a_1)=a_{k-1})
所以(a_ileq a_{i-2}/2)
扩展欧几里得------exgcd
给定(ax+by=c)，输入(a,b,c)，求(x,y)任一合法解。
设(s,t)满足 (b s+(amod b)t=c)
(∵amod b=a-lfloor frac{a}{b}
floor b)
(∴b s+(a-lfloor frac{a}{b}
floor cdot b)t=c)
(→b s+at-lfloor frac{a}{b}
floor cdot b t=c)
(→at+(s-lfloor frac{a}{b}
floor cdot t) b=c)
那么(x=t~~,~~y=s-lfloor frac{a}{b}
floor cdot t)，逐层递归即可。
边界情况：(b=0)，需要求(ax=c)。若(a|c),令(x=c/a)，否则无解。
唯一分解定理
每个正整数（除了1）都可以唯一地表示成素数的乘积，即有唯一的分解质因数方案。
对x分解质因数可得：(x=prod_{i=1}^{n} a_i^{p_i})。
有性质如下：
① 若(y|x), (y=prod_{i=1}^{n} a_i^{q_i}) （(forall i, q_ileq p_i)）
② (x)的约数个数：(prod_{i=1}^{n}( p_i+1))
二、群，环，域
群
定义：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构
性质：封闭性、结合律、有单位元、有逆元
描述：若集合 (G
eq emptyset)，在(G)上的二元运算(G*G→G)构成的代数结构((G,cdot))满足：
封闭性：((forall a,bin G,acdot bin G))
结合律：((forall a,b,cin G,(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c))
单位元：(exists ein G,)s.t.(forall ain G,acdot e=ecdot a=a ))
逆元： (forall ain G,exists bin G,)s.t.(acdot b=bcdot a=e)((acdot a^{-1}=acdot bLeftarrowRightarrow a^{-1}=b))
则((G,cdot))称为一个群，或乘法群。
举例：(Qsetminus{0}, Rsetminus{0}, Csetminus{0})，所有行列式非0的(n)阶方阵组成一个群，{1，-1}
有性质如下：
① 单位元唯一
证明如下：
设有两个单位元 (e_1,e_2)
(e_1=e_1e_2=e_2)，矛盾！
②逆元唯一
证明如下：
假设(a)有两个逆元(b,c)，那么
(b=b(ac)=(ba)c=c)，矛盾！
群的周期：(a)的周期是(o(a))。(o(a))表示最小正整数，使得(a^{o(a)}=e)（注：^表示对a进行群的二元运算）
子群
定义：如果群(G)的非空子集合(H)对于(G)的运算也成一个群，那么H称为G的子群。设(G)是群，(H)是(G)的非空子集，且(H) 关于(G) 上的运算也构成群，则称(H)是(G)的子群。用(Hleq G)表示。
生成子群：若(S)是群(G)的一个非空子集，则包含(S)的(G)的所有子群的交仍是(G)的一个子群，称它为由(S)生成的子群，记为(<S>).((<S>)是(G)中含(S)的最小子群）
右傍集：若(Hleq G)，对于(ain G),定义集合(Ha={ hain G | exists hin H})
性质：
(Ha=Hb)当且仅当 (ab^{-1}in H)
证明如下：
如果(Ha=Hb)，
则(a=eain Ha)，即(ain Hb)，
那么(exists hin H,~a=hb)，那么(ab^{-1}=h)
若(ab^{-1}in H)，
那么 $ha=ha(b{-1}b)=(hab{-1})bin Hb (，
因此)Hasubseteq Hb(
)hb=hb(a{-1}a)=h(ab{-1})^{-1}ain Ha(，故)Hbsubseteq Ha(
因此)Ha=Hb$
若(Ha
eq Hb)，那么(Hacap Hb = emptyset)
假设(xin Hacap Hb)，
则(exists h_1,h_2in H)，(h_1a=h_2b=x) ，
那么(ab^{-1}=h_1^{-1}h_2in H)，
那么(Ha=Hb)，矛盾。
Ruler定理：若(a,n)都是正整数且(a)与(n)互素，则(a^{varphi(n)}equiv 1(mod n))
证明如下：
【例题】
已知(a,bin G)，(o(a)=m)，(o(b)=n)，(ab=ba)
求证：① 若((m,n)=1)，则存在(gin G),s.t. (o(g)=mn)
② 存在(gin G),s.t. (o(g)=lcm(m,n))
证明：
① (g=ab)，假设(o(ab)=k)， 由于((ab)^{mn}=e)，则(kleq mn)
((ab)^{k}=e)，那么(a^{nk}=(ab)^{nk}=e), (m|nk)
同理，(n|mk)
(m|k, n|k)， (mn|k)
综上(k=mn)
② (m=t_1^{p_1}t_2^{p_2}dots t_s^{p_s})
(n=t_1^{q_1}t_2^{q_2}dots t_s^{q_s})
通过交换各个(t_i)的顺序，总能存在(0leq l leq s)，s.t.
(forall ileq l), (p_ileq q_i)
(forall i > l), (p_igeq q_i)
令(c=a^{u},~u=t_1^{p_1}t_2^{p_2}dots t_l^{p_l})
令(d=b^{v},~v=t_{l+1}^{q_{l+1}}t_{l+2}^{q_{l+2}}dots t_s^{q_s})
(o(cd)=lcm(m,n))
由于(o(c)=m/u=t_{l+1}^{p_{l+1}}t_{l+2}^{p_{l+2}}dots t_s^{p_s})
(o(d)=n/v=t_1^{q_1}t_2^{q_2}dots t_l^{q_l})
那么(gcd(o(c),o(d))=1)，又(cd=dc)，由第一小问，(o(cd)=o(c)o(d)=lcm(c,d))
Lagrange定理：若(H)是有限群(G)的子群，则(|G|=|H|cdot [G:H])(([G:H])表示不同的傍集数)
【推论1】若(G)是有限群，则(forall ain G)，有(o(a) | |G|)
证明：
(o(a)=|<a>|,∴o(a) | |G|)
【推论2】若(G)是有限群，则(forall ain G,a^{|G|}=e)
【推论3】若(|G|)=p,({ p is a prime}), 则(G)是循环群。
循环群
如果(G=<a>)，称(G)是循环群。
举例：mod 7意义下，{1,2,3,4,5,6}是循环群。
mod k加法意义下的{0,1,......,k-1}是循环群。
定理1：如果(G=<a>)是有限循环群，则(o(a)=|G|)。
证明如下：
令(k=o(a))，则(a^k=e)，那么(a^{k+I}=a^i)。
考虑{(a^1,a^2,...,a^k)}，这当中的数两两不同。
反证：设(1leq xleq yleq k)，那么(a^{y-x}=e)，矛盾。
因此(G={a^1,a^2,...,a^k})。
定理2：令m是最小的正整数，s.t.(forall gin G,g^m=e)交换群(加群)(G)是循环群，当且仅当(m=|G|)。
证明如下：
若(G=<a>)是循环群，则(o(a)=|G|),所以$mgeq
|G| (。
又由于)forall gin G,g^{|G|}=e(，所以)m=|G|(。
若)m=|G|(，如果)exists ain G $ s.t. (o(a)=|G|)，那么(|G|=<a>)。
否则，(forall gin G,o(g)<|G|)，
设周期最大的元素是(a)，(o(a)=t)，
那么(forall gin G)，(o(g) | t)，
那么(t)满足(forall gin G,g^t=e)，
由于(m)是最小的正整数s.t.(forall gin G,g^m=e)，故(mleq t)，矛盾。
原根
欧拉函数：(varphi(n))表示从1到(n)中与(n)互质的数的数量。
原根：设(m)是正整数，(a)是整数，若(a)模(m)的阶(使(a^d≡1(mod m) 成立的最小正整数d))等于(varphi (m))，则称(a)为模(m)的一个原根。
半群：满足封闭性和结合律
交换群（加群）：满足交换律的群
环：((R,+,cdot ))，其中((R,+))是交换群，((R,cdot))是半群。
举例：Z、R
域：((F,+,cdot))，其中((F,+))是交换群，((Fsetminus{0},cdot))是交换群。
举例：Q,R,C
代数基本定理：在域F中，(n)次非零多项式(f(x))至多有(n)个根。
考虑质数(p)，在对(p)取模的意义下进行加法和乘法，那么$ { 1,2,...,p-1 }(是循环群。 定义：这个循环群的生成元叫做原根。 对于原根)a(,)forall 1leq i leq p-1,exists x>0,a^x=i $
一个循环群(G),设(p-1=|G|)，假设其中(p)是质数，设(a)是生成元，$G= { a,a2,a3,...,a^{p-1}} ( 那么其中)a^{p-1}=e( 如果)g(是原根，当且仅当)o(g)=o-1( 设)g=a^t(，那么)o(g)(是最小的)s$ s.t. (p-1|st)
定理1：任意一个域的乘法群的有限子群(G)一定是循环群。
证明如下：
令(m)是最小的正整数，使得(forall gin G,g^m=e)。
首先(forall gin G,g^{|G|}=e,m leq |G|)。
考虑多项式(x^m-e)，(G)中元素都是这个多项式的根，由代数基本定理，(|G|leq m)。
因此(m=|G|)。
由循环群性质，(G)是循环群。
定理2：(o(g)=p-1)当且仅当(t)与(p-1)互质。
证明如下：
(|G|)中原根的数量就是(varphi(p-1))
由于(varphi(p-1))较大，因此寻找原根时，暴力即可，枚举2，3，...，内次枚举到一个数，判断是不是原根。
判断(a)是否是原根，只需判断是否存在比(p-1)小的数(x)，s.t.(a^x=1)
枚举(p-1)的所有质因子(d)，判断(a^{frac{p-1}{d}})是否为1，
如果都不是，那么(a)就是原根。
假设(o(a)=k)，假设(k<p=1)，那么(k|p-1)。
由于(a^{gcd(k,p-1)}=1)，所以(k|p-1)。
令(t=frac{p-1}{k})，那么(t>1)。
令(d)是(t)中任意一个质因子，(frac{p-1}{t}|frac{p-1}{d})，那么(a^{frac{p-1}{d}})。
因此只需枚举(p-1)的所有质因子(d)，判断(a^{frac{p-1}{d}})是否为1
离散对数
(G)的原根是(a)，由于(forall gin G,exists x,a^x=g)，那么(x=log_ag)
令(q=lceil sqrt p
ceil)
求出$S={ a0,a1,aq,...,aq } (
求出)T={ a0,aq,a{2q},...,a{q^2} } (
任意一个)a^x=g(，因为)x=kq+l,0leq k,lleq q(},
那么)g=a{kq}al(,
可以写成)g=st,sin S,tin T(。
枚举)sin S(，那么需要的)t(就是)s{-1}g$。对$T$建哈希表（或对$T$排序二分），查找$s{-1}g在(T)中是否存在。
这样可以以(O(q))的时间复杂度求出(g=st)的形式，进而求出(x=log_ag)。