Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
通俗解释：
Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及G中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合，以 E 表示G 中所有边的集合。
(u, v) 表示从顶点 u 到 v 有路径相连，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞] 定义。因此，w(u, v) 就是从顶点 u 到顶点 v 的非负花费值（cost），边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。
任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。
已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低花费路径(例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
代码如下：
MAX_NUM = 10000
GraphArr = [
[0, 6, 3, MAX_NUM, MAX_NUM, MAX_NUM],
[6, 0, 2, 5, MAX_NUM, MAX_NUM],
[3, 2, 0, 3, 4, MAX_NUM],
[MAX_NUM, 5, 3, 0, 2, 3],
[MAX_NUM, MAX_NUM, 4, 2, 0, 5],
[MAX_NUM, MAX_NUM, MAX_NUM, 3, 5, 0]
]
MAXVEX = 6
ShortPathTable = [0, 0, 0 ,0, 0, 0]
Pathmatrix = [0, 0, 0, 0, 0, 0]
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#
# dijkstra函数()
#
# Dijkstra算法向最短路径树(SPT)中添加顶点的时候，是按照ta与源点的距离顺序进行的，OSPF动态路由协议就是用的Dijkstra算法。
# 参数：
# GraphArr：这个指向的是无向图的存储数组.
# Strat0：这个是程序的入口节点.
# Pathmatrix：存储的最短路径的序列(也就是从Strat0到任何一个点的最短路径，需要通过哪些节点).
# ShortPathTable：到某个点的最短路径的距离.
# final：最短路径状态标志，如果找到了，则这个节点将被置成1，循环的时候会跳过这些点.
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def dijkstra(GraphArr, Strat0, Pathmatrix, ShortPathTable):
final = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
for i in range(MAXVEX):
final[i] = 0
ShortPathTable[i] = GraphArr[Strat0][i]
Pathmatrix[i] = 0
ShortPathTable[Strat0] = 0
final[Strat0] = 1
for i in range(1, 6):
minPath = MAX_NUM
for a in range(6):
if final[a] != 1 and ShortPathTable[a] < minPath:
k = a
minPath = ShortPathTable[a]
final[k] = 1
for b in range(6):
# 当前最短路径的后驱和与前一个节点
if final[b] != 1 and minPath + GraphArr[k][b] < ShortPathTable[b]:
ShortPathTable[b] = minPath + GraphArr[k][b]
Pathmatrix[b] = k
print(ShortPathTable)
print(Pathmatrix)
if __name__ == '__main__':
dijkstra(GraphArr, 0, Pathmatrix, ShortPathTable)
我解释一下这里面的变量的作用：G：这个指向的是无向图的存储数组，V0是程序的入口节点，Pathmatrix：存储的最短路径的序列（也就是从V0到任何一个点的最短路径，需要通过哪些节点），ShortPathTable：到某个点的最短路径的距离，final ：最短路径状态标志，如果找到了，则这个节点将被置成1，循环的时候会跳过这些点.
先介绍一下这个算法里的几个循环是干什么用的：
1、 第一个循环，初始化该节点到其余节点的路径，也就是把矩阵的第一行数据复制到ShortPathTable（这个变量很重要，每次大循环都以它为基础），Pathmatrix里的值全部置零。
2、 第二个循环，这个大循环才是算法的真正实施，每一次循环都确保能找到到某个点的最短路径。
3、第三个循环，属于第二个循环的内部循环，每次执行，从未找到最短路径的节点中，找到距离最短的那个(ShortPathTable 当中数值最小的那个)。
4、第四个循环，属于第二个循环的内部循环，更新符合条件minPath+G[k][w] < ShortPathTable[w] 的值（minPath 是第三个循环找到的数值最小的那个），并将该值更新到ShortPathTable里面，最后再更新Pathmatrix，即到达w点，对应的前驱结点。
第二个循环，才是核心的循环。每次遍历都能找到一个对应的最短路径。
下一步，我看看调试执行的过程。其实，最难理解的地方，就是执行过程如何与代码的执行结合到一起的。
开始执行，第一个循环结束后，看Pathmatrix,ShortPathTab,final的值：
ShortPathTable[v0] = 0;
final[v0] = 1
这两个初始化的执行，v0到自身的距离，已经找到，所以final[1] 的值被置成1，ShortPathTable[1]的值被置成0（说明v0到自身的距离为0）. 初始化流程结束。
这一步才是真正体现智慧的地方。以k为基准，扫描与k直接相连的节点的距离在加上k到前驱结点的距离，与v0节点到与k直连节点的距离进行比较，也就是当这个条件minPath+G[k][w] < ShortPathTable[w]成立时，将这个距离更新到ShortPathTable。简单点说，让v0节点到各点的距离，在通过了vk节点后，做一次更新，比如，v0不能直接到v4，但是在通过了v1节点后就到v4了。不过这个时候，还做了另外一件事， v0与v2是直连的，距离为5，但是在通过了v1以后，发现v1到v2的距离在加上v1到v0的距离比v0直接到v2的距离要段，所以这一步操作也会把这个距离给替换掉。Pathmatrix[w] = k ，这行代码是说，要到w这个节点，需要通过k点。
剩下的步骤，继续执行这个循环，直到遍历完所有的节点。结束后，Pathmatrix 存储的是节点路径，ShortPathTab 存储节点路径的距离，可以根据这两个变量得到v0到所有节点的最短距离。