斜率优化DP

pengzhou讲完之后留了几道题......

[HNOI2008]玩具装箱toy

bzoj 1010 传送门

洛谷P3195 传送门

设c[i]是题目中c[i]的前缀和。

手推一下状态转移方程，f[i]=f[k]+(i-k-1+c[i]-c[k]-L)^2

搞一搞，x[k]=k+c[k]，y[k]=f[k]+(k+c[k]+l+1)^2

这道题斜率单调递增，用队列维护下凸包即可。

#include<cstdio>
#define ll long long

int n,tk=1,pt=1;
ll l;
ll c[50005];
ll f[50005];
ll q[50005];

ll y(int p)
{
    return (ll)(f[p]+(ll)(p+c[p]+l+1)*(ll)(p+c[p]+l+1));
}

ll x(int p)
{
    return (ll)(p+c[p]);
}

int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&l);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&c[i]),c[i]+=c[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(tk<pt&&y(q[tk+1])-y(q[tk])<=2ll*(x(i))*(x(q[tk+1])-x(q[tk])))q[tk++]=0;
        f[i]=f[q[tk]]+((ll)(i-q[tk]-1)+c[i]-c[q[tk]]-l)*((ll)(i-q[tk]-1)+c[i]-c[q[tk]]-l);
        while(tk<pt&&(y(q[pt])-y(i))*(x(q[pt-1])-x(q[pt]))<=(y(q[pt-1])-y(q[pt]))*(x(q[pt])-x(i)))q[pt--]=0;
        q[++pt]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}

[APIO2010]特别行动队

bzoj 1911 传送门

洛谷P3628 传送门

和上一道差不多。

设s[i]为士兵战斗力的前缀和。 

(f[i]-a*si^2-b*si-c)=(f[j]+a*sj^2-b*sj)-(si)*(2*a*sj)

b=y-kx

b=f[i]-a*si^2-b*si-c，y=f[j]+a*sj^2-b*sj，k=si，x=2*a*sj

发现斜率k递增，x递减。

用队列维护上凸包即可。

#include<cstdio>
#define ll long long

int n;
ll a,b,c;
ll s[1000005];
ll f[1000005];
int q[1000005],tl=1,hd=1; 

ll y(int p)
{
    return f[p]+a*s[p]*s[p]-b*s[p];
}

ll x(int p)
{
    return 2ll*a*s[p];
}

int main()
{
    scanf("%d%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(hd<tl&&y(q[hd])-y(q[hd+1])<=s[i]*(x(q[hd])-x(q[hd+1])))hd++;
        f[i]=f[q[hd]]+a*(s[i]-s[q[hd]])*(s[i]-s[q[hd]])+b*(s[i]-s[q[hd]])+c;
        while(hd<tl&&(y(q[tl-1])-y(q[tl]))*(x(q[tl])-x(i))>=(y(q[tl])-y(i))*(x(q[tl-1])-x(q[tl])))tl--;
        q[++tl]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}

[SDOI2016]征途

bzoj 4518 传送门

洛谷P4072 传送门

套路都是相似的呀~

这个多了一个维度，不慌。

显然先搞出来一个前缀和。

拿方差公式搞一搞，发现如果有某一天走了xi这么远，对方差的贡献为m*xi^2-2*xi*s[n]

而且无论怎么走，对方差的贡献都是在s[n]^2的基础上往上加的。

设f[i][j]为第j天走到第i个时候的贡献。

f[i][j]=f[k][j-1]+m(s[i]-s[k])^2-2*(s[i]-s[k])*s[n]

发现更新第j天的时候需要第j-1天的答案。

所以第一个循环枚举第几天，里面的循环枚举到了第几个。

斜率优化一下：

(f[i][j]+2*s[n]*s[i]-m*s[i]^2) = (f[k][j-1]+2*s[n]*s[k]+m*s[k]^2) - (s[i]) * (2*m*s[k])

b=y-k*x

用队列维护下凸包。

计算第j天的时候，把第j-1天的答案推到队列里。

注意计算第一天答案的时候不能更新队列。

第一天无论走到哪，都必须是从0走过来的。

所以必须保证计算第一天答案的时候队列里只有0。

#include<cstdio>
#define ll long long

int n,t;
ll m;
ll s[3005];
ll f[3005][3005];
int q[3005],hd,tl;

ll x(int p)
{
    return 2ll*m*s[p];
}

ll y(ll p)
{
    return f[p][t-1]+2ll*s[n]*s[p]+m*s[p]*s[p];
}

int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
    for(t=1;t<=m;t++)
    {
        hd=tl=1;
        q[1]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(hd<tl&&y(q[hd+1])-y(q[hd])<=s[i]*(x(q[hd+1])-x(q[hd])))hd++;
            f[i][t]=y(q[hd])-s[i]*x(q[hd])+m*s[i]*s[i]-2ll*s[i]*s[n];
            while(hd<tl&&(y(i)-y(q[tl]))*(x(q[tl])-x(q[tl-1]))<=(y(q[tl])-y(q[tl-1]))*(x(i)-x(q[tl])))tl--;
            if(t>1)q[++tl]=i;
        }
    }
    printf("%lld",f[n][m]+s[n]*s[n]);
    return 0;
}