【USACO】 Balanced Lineup

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【算法】

        这是一道经典的最值查询（RMQ)问题。

        我们首先想到线段树。但有没有更快的方法呢？对于这类问题，我们可以用ST表（稀疏表）算法求解。

        稀疏表算法。其实也是一种动态规划的算法。是先做一遍预处理，然后O（1）求出答案。
        
        设计状态 : f[i][j] 表示从第i个数开始连续2^j次方个数（包括第i个数），中的（最大或最小值）

        那么状态转移方程是什么呢？

        我们知道 2^j可分解为两个2^(j-1)，所以f[i][j] = max或min(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])

        做完预处理，我们又该如何查询呢？

        首先我们证明 ： 2^log(x) > x / 2 

        先将x表示为2^i+k的形式，则log(x)=i

        得到： 2^i > 2^(i-1) + k / 2
        2^(i-1) > k / 2
        2^i > k

        我们知道2^i一定大于k，所以成立。

        所以在查询（最大或最小值）时，我们只需找两个长度为2^log(x)的区间求最大最小值就可以了

        此题堪称ST表裸题

【代码】

         

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int i,j,N,M,k,x,y;
int a[50005],f_max[50005][105],f_min[50005][105];

int main() {
                
        scanf("%d%d",&N,&M);
        for (i = 1; i <= N; i++) {
                scanf("%d",&a[i]);
                f_max[i][0] = f_min[i][0] = a[i];
        }
        
        for (i = N; i >= 1; i--) {
                for (j = 1; i + (1<<j) - 1 <= N; j++) {
                        f_max[i][j] = max(f_max[i][j-1],f_max[i+(1<<(j-1))][j-1]);
                        f_min[i][j] = min(f_min[i][j-1],f_min[i+(1<<(j-1))][j-1]);
                }    
        }
        
        for (i = 1; i <= M; i++) {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                k = (int)(log(y - x + 1) / log(2.0));
                printf("%d
",max(f_max[x][k],f_max[y-(1<<k)+1][k]) - min(f_min[x][k],f_min[y-(1<<k)+1][k]));
        }
        
        return 0;
    
}