（四十二）常用 10 种算法——弗洛伊德算法

1.弗洛伊德(Floyd)算法介绍

1. 和 Dijkstra 算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978 年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
2. 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
3. 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径
4. 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径

2.弗洛伊德(Floyd)算法图解分析

1. 设置顶点 vi 到顶点 vk 的最短路径已知为 Lik，顶点 vk 到 vj 的最短路径已知为 Lkj，顶点 vi 到 vj 的路径为 Lij，则 vi 到 vj 的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk 的取值为图中所有顶点，则可获得 vi 到 vj 的最短路径
2. 至于 vi 到 vk 的最短路径 Lik 或者 vk 到 vj 的最短路径 Lkj，是以同样的方式获得
3. 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析-举例说明

示例：求最短路径为例说明

弗洛伊德算法的步骤：
第一轮循环中，以 A(下标为：0)作为中间顶点【即把 A 作为中间顶点的所有情况都进行遍历, 就会得到更新距离表 和 前驱关系】，距离表和前驱关系更新为：

分析如下：
1) 以 A 顶点作为中间顶点是，B->A->C 的距离由 N->9，同理 C 到 B；C->A->G 的距离由 N->12，同理 G 到 C
2) 更换中间顶点，循环执行操作，直到所有顶点都作为中间顶点更新后，计算结束

3.弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径

1. 胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G)
2. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3. 问：如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?
4. 代码实现

import java.util.Arrays;

/**
 * 弗洛伊德算法
 */
public class FloydAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        // 测试看看图是否创建成功
        char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        //创建邻接矩阵
        int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
        final int N = 65535;
        matrix[0] = new int[]{0, 5, 7, N, N, N, 2};
        matrix[1] = new int[]{5, 0, N, 9, N, N, 3};
        matrix[2] = new int[]{7, N, 0, N, 8, N, N};
        matrix[3] = new int[]{N, 9, N, 0, N, 4, N};
        matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, 0, 5, 4};
        matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, 0, 6};
        matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, 0};
        //创建 Graph 对象
        Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
        //调用弗洛伊德算法
        graph.floyd();
        graph.show();
    }

    // 创建图
    static class Graph {
        private char[] vertex; // 存放顶点的数组
        private int[][] dis; // 保存，从各个顶点出发到其它顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组
        private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点

        // 构造器

        /**
         * @param length 大小
         * @param matrix 邻接矩阵
         * @param vertex 顶点数组
         */
        public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
            this.vertex = vertex;
            this.dis = matrix;
            this.pre = new int[length][length];
            // 对 pre 数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                Arrays.fill(pre[i], i);
            }
        }

        // 显示 pre 数组和 dis 数组
        public void show() {
            //为了显示便于阅读，我们优化一下输出
            char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
            for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
                // 先将 pre 数组输出的一行
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
                }
                System.out.println();
                // 输出 dis 数组的一行数据
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");
                }
                System.out.println();
                System.out.println();
            }
        }

        //弗洛伊德算法, 比较容易理解，而且容易实现
        public void floyd() {
            int len = 0; //变量保存距离
            //对中间顶点遍历， k 就是中间顶点的下标 [A, B, C, D, E, F, G]
            for (int k = 0; k < dis.length; k++) { //
                //从 i 顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G]
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    //到达 j 顶点 // [A, B, C, D, E, F, G]
                    for (int j = 0; j < dis.length; j++) {
                        len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出从 i 顶点出发，经过 k 中间顶点，到达 j 顶点距离
                        if (len < dis[i][j]) {//如果 len 小于 dis[i][j]
                            dis[i][j] = len;//更新距离
                            pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驱顶点
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}