【XSY3890】【hdu5263】平衡大师（二分，上下界网络流）

不妨令 $k=m-k$，那么题目的意思就是至多删去 $k$ 条边。

首先二分答案 $t$，然后求最少需要删去多少的边，如果最少需要删去的边 $\le k$ 则合法。

在原图中统计每一个点的入度-出度，记为 $d_u$。

首先对于每一条边 $(u,v)$，从 $u$ 向 $v$ 连边 $([0,1],1)$（小括号内前一位表示容量上下界，后一位表示费用），表示删去这条边需要耗费 $1$。

对于每一个点 $u$，分三种情况讨论：

• 若 $d_u>t$，那么 $d_u$ 需要减少至少 $d_u-t$，至多 $d_u+t$，即 $u$ 的入度需要减少 $[d_u-t,d_u+t]$。

  那么我们从 $u$ 向 $T$ 连边 $([d_u-t,d_u+t],0)$，表示需要删除连向 $u$ 的这么多边。

  注意这种方案也是可行的：先让 $d_u$ 增加一些，再让 $d_u$ 减少更多。但由于贪心的原因，如果有这种情况出现，我们明显有更优的方案而不选择删掉那么多边，所以我们不考虑这种情况。下面同理，我就不一一解释了。

• 若 $d_u<-t$，同理，我们从 $S$ 向 $u$ 连边 $([-t-d_u,t-d_u],0)$，表示需要删除从 $u$ 出发的这么多边。

• 若 $-t\le d_u\le t$，那么我们从 $u$ 向 $T$ 连边 $([0,d_u+t],0)$，表示我们可以删除连向 $u$ 的这么多边；从 $S$ 向 $u$ 连边 $([0,t-d_u],0)$，表示我们可以删除从 $u$ 出发的这么多边。

然后跑最小费用最大流即可，若满流且最小费用 $\le k$，则证明 $t$ 可行。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cmath>

#define N 55
#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

struct Edge
{
    int u,v;
    Edge(){};
    Edge(int a,int b){u=a,v=b;}
}e[N*N];

int T,n,m,k,tot,deg[N];
int s,t,ss,tt,add[N];
int cnt,head[N],to[N*6+N*N*2],c[N*6+N*N*2],w[N*6+N*N*2],nxt[N*6+N*N*2];
int maxflow,mincost,dis[N],pre[N];
bool inq[N];

map<string,int>mp;
queue<int>q;

void adde(int u,int v,int ci,int wi)
{
    to[++cnt]=v;
    c[cnt]=ci;
    w[cnt]=wi;
    nxt[cnt]=head[u];
    head[u]=cnt;
    
    to[++cnt]=u;
    c[cnt]=0;
    w[cnt]=-wi;
    nxt[cnt]=head[v];
    head[v]=cnt;
}

bool SPFA()
{
    memset(dis,127,sizeof(dis));
    q.push(ss);
    dis[ss]=0;
    inq[ss]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        inq[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
        {
            int v=to[i];
            if(c[i]&&dis[u]+w[i]<dis[v])
            {
                dis[v]=dis[u]+w[i];
                pre[v]=i;
                if(!inq[v])
                {
                    q.push(v);
                    inq[v]=1;
                }
            }
        }
    }
    return dis[tt]!=dis[0];
}

void MCMF()
{
    maxflow=mincost=0;
    while(SPFA())
    {
        int minflow=INF;
        for(int u=tt;u!=ss;u=to[pre[u]^1]) minflow=min(minflow,c[pre[u]]);
        for(int u=tt;u!=ss;u=to[pre[u]^1])
        {
            c[pre[u]]-=minflow;
            c[pre[u]^1]+=minflow;
            mincost+=w[pre[u]]*minflow;
        }
        maxflow+=minflow;
    }
}

bool check(int mid)
{
    cnt=1;
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(add,0,sizeof(add));
    for(int i=1;i<=m;i++)
        adde(e[i].u,e[i].v,1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(deg[i]>mid)
        {
            add[i]-=deg[i]-mid,add[t]+=deg[i]-mid;
            adde(i,t,mid*2,0);
        }
        else if(deg[i]<-mid)
        {
            add[s]-=-mid-deg[i],add[i]+=-mid-deg[i];
            adde(s,i,mid*2,0);
        }
        else
        {
            adde(s,i,mid-deg[i],0);
            adde(i,t,deg[i]+mid,0);
        }
    }
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        if(add[i]<0) adde(i,tt,-add[i],0);
        else adde(ss,i,add[i],0),sum+=add[i];
    }
    adde(t,s,INF,0);
    MCMF();
    if(maxflow==sum) return mincost<=k;
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int nowT=1;nowT<=T;nowT++)
    {
        tot=0;
        mp.clear();
        memset(deg,0,sizeof(deg));
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        k=m-k;
        s=n+1,t=s+1,ss=t+1,tt=ss+1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            string a,b;
            cin>>a>>b;
            if(!mp[a]) mp[a]=++tot;
            if(!mp[b]) mp[b]=++tot;
            e[i]=Edge(mp[a],mp[b]);
            deg[mp[a]]--,deg[mp[b]]++;
        }
        int l=0,r=0,ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            r=max(r,abs(deg[i]));
        while(l<=r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if(check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        printf("Case #%d:
%d
",nowT,ans);
    }
    return 0;
}