【XSY3917】分数（思维，构造）

题面

分数

题解

手推一下发现最优策略是：（不会证）

1. 若 (x<0)，则不断 (xgets x+1) 直到 (xgeq 0) 为止。

2. 若 (x>0)，则 (xgets -dfrac{1}{x})。

3. 若 (x=0)，终止。

也就是说，设开始时 (x=dfrac{a}{b}<0)（若 (x>0) 则执行 (2) 操作），其中 (a<0)，(b>0)。

用 ((a,b)) 表示 (dfrac{a}{b})，那么上述操作本质是不断将 ((a,b)xrightarrow{ ext{若干次操作1}} (b-(-a)mod b,b)xrightarrow{ ext{操作2}} (-b,b-(-a)mod b))。

为了方便，用 (xrightarrow{k}) 表示 (xrightarrow{ ext{k次操作1}})，用 (Rightarrow) 表示 (xrightarrow{ ext{操作2}})。

看上去很像辗转相除法，但时间复杂度是不对的，举个反例很容易证明： ((-1,114514)xrightarrow1 (114513,114514)Rightarrow(-114514,114513)xrightarrow1(-1,114513))。

所以暴力模拟是 (O(V)) 的（其中 (V) 为 (a,b) 值域）。

但有一种神仙优化方法：

设当前 ((-a,b))，考虑在 (0<b<a<2b) 时，显然要进行的操作是：

[(-a,b)xrightarrow{2} (-a+2b,b) Rightarrow (-b,-a+2b) ]

发现 (a'=b=a-(a-b))，(b'=-a+2b=b-(a-b))，所以新的 (a')、(b') 其实是在 (a)、(b) 的基础上各减去了 (a-b)，而且 (a'-b'=a-b) 不变。

那么如果当前 ((-a,b))，且满足 (0<b<a<2b)，我们就可以不断对 (a)、(b) 减去 (a-b) 直到当前不满足 (0<b<a<2a) 为止。列方程易解得最多减去 (leftlceildfrac{2b-a}{a-b} ight ceil) 次。所以这个过程用除法 (O(1)) 计算即可。

这种算法的时间复杂度是 (O(log V)) 的。

时间复杂度证明：（来自syh巨佬）

考虑证明 (b) 在上述综合算法下是指数级下降的。

设当前为 ((-a,b))，其中 (a,b>0)。如果 (a) 不是 (b) 的倍数的话，显然会进行如下操作：

[(-a,b)xrightarrow{k}(-a+kb,b)Rightarrow(-b,-a+kb) ]

（其中 (k) 为满足 (-a+kb>0) 的最小的 (k)，显然 (0<-a+kb<b)）

设 (a'=b)，(b'=-a+kb)，那么 (b'<a')。分两种情况讨论：

• 若 (b'leqdfrac{b}{2})，那么 (b'leqdfrac{b}{2})。废话

• 若 (b'>dfrac{b}{2})，则 (b'>dfrac{b}{2}=dfrac{a'}{2})，即 (a'<2b')，又 (b'<a')，所以满足 (b'<a'<2b')，可以进行刚刚讲到的优化算法：

  对于 ((a',b'))，不断对分母分子减去 ((a'-b')) 直到当前的 (b'') 不满足 (b''<a''<2b'') 为止。

  由于我们证明过 (a''-b''=a'-b'>0)，即 (a'') 恒大于 (b'') 的，所以当上述条件不满足时，必是 (a''>2b'')。

  则 (b''<dfrac{a''}{2}<dfrac{a'}{2}=dfrac{b}{2})。

所以无论如何，在每次 (O(1)) 的操作后，一定有 (b'leq dfrac{b}{2})。

所以时间复杂度为 (O(log V))。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

inline ll read()
{
	ll x=0;
	int f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1ll)+(x<<3ll)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int t;
ll a,b,ans;

ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		ans=0;
		a=read(),b=read();
		if(b<0) b=-b,a=-a;
		if(a>0)
		{
			swap(a,b),a=-a;
			ans++;
		}
		a=-a;
		while(a)
		{
			if(!(a%b))
			{
				ans+=a/b,a=0;
				continue;
			}
			if(b<a&&a<2ll*b)
			{
				ll tmp=(2ll*b-a)/(a-b);//这里应该用ceil，但我精度炸了，所以先向下取整再if判断一下 
				ll x=a-b;
				a-=tmp*x,b-=tmp*x;
				if(b<a&&a<2ll*b)
				{
					a-=x,b-=x;
					tmp++;
				}
				ans+=3ll*tmp;
			}
			else
			{
				ll tmp=a/b+1;
				ll t=a;
				a=b,b=-t+tmp*b;
				ans+=tmp+1;
			}
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}
/*
5
0 1
1 1
-1 2
-2 4
-8 -5
*/