多项式的各种操作

持续update。。。

多项式的表示方式

1.系数表示法

最常用的其实就是这个了，数学书告诉我们多项式是多个单项式的和，例如，

[x^3+16x^2+2 ]

就是一个多项式。我们可以将一个多项式表示为

[kx^n ]

其中k为系数，n为次数

所以我们就可以把一个次数界为n的多项式用一个n维向量(a=(a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_n-1))表示成这样

[f(x)=sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i ]

1)运算

加法：

这个就比较显然了

[f(x)=A(x)+B(x)=sum^{n-1}_{i=0}(a_i+b_i)x^i ]

时间复杂度(O(n))

乘法：

这里要稍微理解一下

[f(x)=A(x)B(x)=sum_{i=0}^{n^2}(sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j})x^i ]

时间复杂度(O(n^2))

2.点值表示法

我们可以把一个次数界为n的多项式(f(x))表示成这样一个集合(F)

[F={(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_{n-1},y_{n-1})} ]

我们可以这样理解(x_i)和(y_i)之间的关系

[y_i=f(x_i) ]

也就是说第i个y值就是第i个x代入多项式(f(x))后的值

例如，多项式(f(x)=x^2+x+1)就可以表示成这样

[{(1,3),(2,7),(-1,1)} ]

我们将(x_1=1,x_2=2,x_3=-1)代入,会发现

[f(1)=3 \f(2)=7 \f(-1)=1 ]

1）为什么可以这样表示

首先我们要知道为什么一个点值表达式可以确定一个唯一的多项式。我们这里就可以引入一个比较神奇的东西拉格朗日插值公式，用它我们可以将多项式(f(x))表示成这样

[f(x)=sum_{i=0}^{n-1}y_iprod_{j=0,j e i}^{n-1}frac{x-x_j}{x_i-x_j} ]

拉格朗日公式是当给定n个点((x_i,y_i))，求一个(n-1)次多项式（函数）(f(x))时用的，显然它的时间复杂度是(O(n^2))。由此我们会发现对于一个点值表达式，可以确定一个唯一的多项式。但是对于一个多项式是不确定一个唯一的点值表达式，因为在这个函数任取n个点都是这个函数的点值表达式。

MYHdalao在上FFT时的一句话使我记忆深刻：n个点可以确定一个n次多项式（函数）

其实我们可以更加直（gan）观（xing）地来理解一下这句话。学一次函数时我们有两点式，学二次函数时我们有三点式，可以很容易找出这其中的规律

2）运算

先定义（下面要用）

多项式(A(x)={(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_{n-1},y_{n-1})})

多项式(B(x)={(x_0,y'_0),(x_1,y'_1),(x_2,y'_2),cdots,(x_{n-1},y'_{n-1})})

观察上面(A(x))和(B(x))的点值表达式，它们的(n)个(x_i)的取值都是一样的，而(y_i)和(y'_i)的取值就是代入两个多项式后的不同的取值

加法：

点值表达式的加法还是十分好理解的啊

[f(x)=A(x)+B(x)={(x_0,y_0+y'_0),(x_1,y_1+y'_1),(x_2,y_2+y'_2),cdots,(x_{n-1},y_{n-1}+y'_{n-1})} ]

乘法：

点值表达式的乘法对于FFT是极其重要的

多项式求导

1.前置

1）可加性？（求导法则）

若(f(x)=x^2+x)且(g(x)=x^2,h(x)=x)，则

[f'(x)=g'(x)+h'(x) ]

2）常数可分离（求导法则）

首先我们知道常数的导数是0
若(f(x)=cx)且(g(x)=x)，则

[f'(x)=cg'(x) ]

3) 二项式定理

((x+y)^n=sum_{i=0}^{n}{n choose i}x^iy^{n-i})

实际上这个东西就是我们小学时候学的杨辉三角

4）幂函数求导

这是比较基本的东西啊
我们令(f(x)=cx^n,g(x)=x^n)，所以

[egin{align*}f'(x)&=cg'(x)\&=climlimits_{mathrm{d}x o 0}frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}\&=climlimits_{mathrm{d}x o 0}frac{(x+dx)^n-x^n}{dx}\&=climlimits_{mathrm{d}x o 0}frac{sum_{i=0}^{n}{n choose i}x^idx^{n-i}-x^n}{dx}\&=climlimits_{mathrm{d}x o 0}frac{sum_{i=0}^{n-1}{n choose i}x^idx^{n-i}}{dx}\&=climlimits_{mathrm{d}x o 0}sum_{i=0}^{n-1}{n choose i}x^idx^{n-i-1}\&=cnx^{n- 1}end{align*} ]

2.推导

首先我们定义一个多项式

[f(x)=sum_{i=0}^{n}a_ix^i ]

所以我们就会有

[egin{align*} f'(x)&=sum_{i=0}^{n}(a_ix^i)' \&=sum_{i=0}^{n}a_i(x^i)' \&=sum_{i=0}^{n}a_iix^{i-1} end{align*} ]

这样这个推导就完成了