莫比乌斯反演是一个十分玄幻的东西，它可以把(o(n^2))的时间复杂度降到(o(nsqrt{n}))甚至更低
1.公式
这是莫比乌斯反演最基本的东西，两个定义在正整数集上的函数(F(n))和(f(n))
若满足这个式子
[F(n)=sum_{d|n}f(d)
]
则会有
[f(n)=sum_{d|n}mu(d)F(frac{n}{d})
]
2.莫比乌斯函数(mu)
(mu)是个神奇的东西，它是一个定义在正整数集上的函数
[mu(n)=left{
egin{array}{rcl}
1 & & n=1\
(-1)^k & & n=p_1p_2p_3...p_k (其中p_i为互异质数)\
0 & & 其他情况\
end{array}
ight. ]
这是前50个莫比乌斯函数的取值
它有两个性质
性质一：
[sum_{d|n}{mu(d)}=left{
egin{array}{rcl}
1 & & n=1\
0 & & n!=1
end{array}
ight. ]
性质二：
[sum_{d|n}frac{mu(d)}{d}=frac{phi(n)}{n}
]
3.莫比乌斯反演的实现
其实线性筛就能求出(mu)
代码：
void get(int n){
m[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
pri[++cnt]=i;
m[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt and pri[j]*i<=n;j++){
int k=pri[j]*i;
vis[k]=1;
if(i%pri[j]==0){
m[k]=0;
break;
}else m[k]=-m[i];
}
}
}
4.莫比乌斯反演的实际运用
例题1：Luogu2568 GCD 题解
例题2：bzoj2440: [中山市选2011]完全平方数 题解
例题3：Luogu1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 题解