费马小定理和欧拉定理

费马小定理和欧拉定理

1.费马小定理

1）定义

我们现在设正整数(a,m)且(m)是素数
我们就会有式子

[a^{m-1}equiv1(mod m) ]

2）证明

我们设一个完全剩余系(A={1,2,3,...,m-1})
又因为((a,m)=1)
我们又得到另一个完全剩余系(B={1a,2a,3a,...,(m-1)a}),这里其实就是一个余数的可乘性的运用
根据完全剩余系的性质我们

[(m-1)!equiv(m-1)!*a^{m-1}(mod m) ]

两边同时消去就可得

[a^{m-1}equiv1(mod m) ]

2.欧拉定理

1）欧拉函数

欧拉函数记为(phi)，且通常定义在正整数域上
比较直接点，欧拉函数通式是长这样的

[phi(n)=nprod^{x}_{i=1}(1-frac{1}{p_i}) ]

其中x为n的质因数个数，而(p_i)是n的第i个质因数
其实欧拉函数更重要的意义是：(phi(n))表示小于等于n且与n互质的正整数的个数
由此我们可以的这么一条伪通式

[phi(n)=sum^{n}_{i=1}[(n,i)==1] ]

欧拉函数是积性函数,由它的意义我们可以用乘法原理证明,同时显然可以知道这不是完全积性函数

例如三个正整数10，2，5,我们可以算到(phi(10)=4)

若((n,m)=1)，则有

[phi(nm)=phi(n)*phi(m) ]

我们可以根据定义得到如果n为素数，则(phi(n)=n-1)，这个东西反向也是成立的
我们可以根据这些性质来写出欧拉函数的线性筛法
代码如下：

void getEuler(int x){
    eul[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(!eul[i]){
            pri[++tot]=i;
            eul[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot and i*pri[j]<=x;j++){
                if(!(i%pri[j])){
                    eul[i*pri[j]]=eul[i]*pri[j];
                    break;
                }
                eul[i*pri[j]]=eul[i]*(pri[j]-1);
            }
    }
}

欧拉函数在信息学竞赛中使用的还是蛮多的，当然在解决实际数学问题中欧拉函数也是一个极其有用的东西，例如我们在求({17}^{2017}equiv x(mod 23))时计算速度会快很多

欧拉心算

给出一个正整数(n(n<=10^7))，求

[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}phi({gcd(i,j)}) ]

思路：

显然我们暴力是过不了的我们要考虑(O(n))或者更高效的算法

我们肯定要推式子，所以直接拿那个题目的式子来推

其中

[sum(n)=sum_{i=1}^{n}phi(i) ]

这样我们就可以推出原式为

[2*sum^n_{d=1}{(phi(d)*sum(lfloor frac{n}{d} floor))}-sum(n) ]

所以我们可以用线性筛筛出欧拉函数然后我们再求一次前缀和

代码：

 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
  
using namespace std;
  
int tot,n,pri[10000001];
long long eul[10000001];
 
inline int rd(){
    register int x=0,y=1;register char c=getchar();
    while(c<'0' or c>'9'){
        if(c=='-')y=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0' and c<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return x*y;
}
 
void getEuler(int x){
    eul[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(!eul[i]){
            pri[++tot]=i;
            eul[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot and i*pri[j]<=x;j++){
                if(!(i%pri[j])){
                    eul[i*pri[j]]=eul[i]*pri[j];
                    break;
                }
                eul[i*pri[j]]=eul[i]*(pri[j]-1);
            }
    }
    for(int i=2;i<=x;i++)eul[i]+=eul[i-1];
}
  
long long solve(int x){
    long long ret=0;int nxt;
    for(int i=1;i<=x;i=nxt+1){
        nxt=x/(x/i);
        ret+=(eul[nxt]-eul[i-1])*eul[x/i]*2-(eul[nxt]-eul[i-1]);
    }
    return ret;
}
  
int main(){
    n=rd();
    getEuler(10000000);
    while(n--){
        int x=rd();
        printf("%lld
",solve(x));
    }
    return 0;
}

2）定义

现在我们来引入欧拉定理，实际上欧拉定理就是费马小定理的推广在m为素数时显然就是费马小定理
我们先定义两个互质的正整数(a,m)
我们就会有

[a^{phi(m)}equiv1(mod m) ]

3)证明

我们令(r=phi(n))
我们先设一个有(r)个元素的集合(P={p_1,p_2,p_3,...p_r})，其中(p_i)是第i个与m互质的数
又因为((a,m)=1)，且P集合中的所有元素都与m互质，所以集合(P'={ap_1,ap_2,ap_3,...ap_r})的所有元素都与m互质，且属于模m的r个不同的剩余类([p_1],[p_2],..[p_r])，这里我们用同余的性质很容易就可以想到

[a^r*prod_{i=1}^{r}{p_i}equivprod_{i=1}^{r}{p_i}(mod m) ]

消去可得

[a^requiv1(mod m) ]

所以

[a^{phi(m)}equiv1(mod m) ]