杜教筛 模板

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 http://blog.leanote.com/post/totziens/%E8%8E%AB%E6%AF%94%E4%B9%8C%E6%96%AF%E5%8F%8D%E6%BC%94%E4%B8%8E%E6%9D%9C%E6%95%99%E7%AD%9B

1. 求$sumlimits_{i=1}^nmu(i),nleqslant 10^{11}$
直接求不好求，但是我们有$sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{d|i}mu(d)=1$
化一下蛤：$sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^{leftlfloorfrac{n}{i} ight floor}mu(j)=1$，$sumlimits_{i=1}^nmu(i)=1-sumlimits_{i=2}^nsumlimits_{j=1}^{leftlfloorfrac{n}{i} ight floor}mu(j)$
核心思想是枚举约数，这样就可以递推/递归求解了。
时间复杂度$Oleft(n^{frac34} ight)$。
但是注意到当$n$比较小的时候其实我们可以$O(n)$线筛出来。
所以我们考虑分类讨论，线筛出≤B的，>B的递推。
时间复杂度$Oleft(B+sumlimits_{i=1}^{frac nB}sqrt{frac ni} ight)=Oleft(B+frac n{sqrt{B}} ight)$

求导一下可知在$B=n^{frac23}$时取得最小值$Oleft(n^frac23 ight)$。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
#define N 5000005
using namespace std;
const int inf = 5000000;
map<int,ll>mp;
int su[N],pr[N],tot;
ll f[N];
void shai()
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=inf;i++)
    {
        if(!pr[i])
        {
            pr[i]=i;
            su[++tot]=i;
            f[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&su[j]<=pr[i]&&su[j]*i<=inf;j++)
        {
            pr[su[j]*i]=su[j];
            if(su[j]==pr[i])f[su[j]*i]=f[i]*su[j];
            else f[su[j]*i]=f[i]*(su[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=inf;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+f[i];
    }
    return ;
}
int n;
ll phi(int x)
{
    if(x<=inf)return f[x];
    if(mp.find(x)!=mp.end())return mp[x];
    ll as=1LL*x*(x+1)/2;int r;
    for(int l=2;l<=x;l=r+1)
    {
         r=x/(x/l);
        as-=phi(x/l)*(r-l+1);
    }
    return mp[x]=as;
}
int main()
{
    shai();
    scanf("%d",&n);
    printf("%lld
",phi(n));
    return 0;
}