2016-2017 National Taiwan University World Final Team Selection Contest (Codeforces Gym) 部分题解

 

D

考虑每个点被删除时其他点对它的贡献，然后发现要求出距离为1~k的点对有多少个。

树分治+FFT。分治时把所有点放一起做一遍FFT，然后减去把每棵子树单独做FFT求出来的值。

复杂度$nlog^2n$

#include<bits/stdc++.h>
#define N 270000
#define pi acos(-1)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int p = 1000000007;
int pw(int x,int y)
{
	int lst=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)lst=1LL*lst*x%p;
		y>>=1;
		x=1LL*x*x%p;
	}
	return lst;
}
int head[N],ver[2*N],nxt[2*N],tot;
void add(int a,int b)
{
	tot++;nxt[tot]=head[a];head[a]=tot;ver[tot]=b;return ;
}
struct E
{
	double x,y;
	E(){;}
	E(double _x,double _y)
	{
		x=_x;y=_y;
	}
	friend E operator + (E &a,E &b)
	{
		return E(a.x+b.x,a.y+b.y);
	}
	friend E operator - (E &a,E &b)
	{
		return E(a.x-b.x,a.y-b.y);
	}
	friend E operator * (E &a,E &b)
	{
		return E(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);
	}
}a[N],b[N],c[N];
int R[N];
ll ans[N];
void fft(E *a,int f,int n)
{
	for(int i=0;i<n;i++)if(i>R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
	{
		E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
		{
			E w(1,0);
			for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn)
			{
				E x=a[j+k],y=a[j+k+i]*w;
				a[j+k]=x+y;a[j+k+i]=x-y;
			}
		}
	}
	if(f==-1)
	{
		for(int i=0;i<n;i++)a[i].x/=n;
	}
	return ;
}
void FFT(int *sa,int m,int f)
{
	int l=0,n=1;
	while(n<=2*m)n<<=1,l++;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		a[i].y=a[i].x=b[i].x=b[i].y=0;
		if(i<=m)a[i].x=b[i].x=sa[i];
	}
	for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	fft(a,1,n);fft(b,1,n);
	for(int i=0;i<n;i++)c[i]=a[i]*b[i];
	fft(c,-1,n);
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		ll tmp=(ll)(c[i].x+0.5);
		ans[i-1]+=f*tmp;
	}
	return ;
}
int size[N],mn,id,sum,v[N];
int n;
void dfs(int x,int f)
{
	int mx=0;
	size[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(v[ver[i]]||ver[i]==f)continue;
		dfs(ver[i],x);
		size[x]+=size[ver[i]];
		mx=max(mx,size[ver[i]]);
	}mx=max(mx,sum-size[x]);
	if(mx<mn)
	{
		mn=mx;
		id=x;
	}
	return ;
}
int now[N],nw[N];
int mxx=0;
void dffs(int x,int f,int dp)
{
	size[x]=1;ans[dp]+=2;now[dp]++,nw[dp]++;
	if(dp>mxx)mxx=dp;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(v[ver[i]]||ver[i]==f)continue;
		dffs(ver[i],x,dp+1);
		size[x]+=size[ver[i]];
	}
	return ;
}
void solve(int x)
{
	sum=size[x];mn=inf;id=x;
	dfs(x,-1);
	x=id;
	v[x]=1;size[x]=1;ans[1]++;
	for(int i=0;i<=sum;i++)now[i]=0;
	int mx=0;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(v[ver[i]])continue;
		mxx=0;
		dffs(ver[i],x,2);
		size[x]+=size[ver[i]];
		FFT(nw,mxx,-1);
		mx=max(mx,mxx);
		for(int j=0;j<=mxx;j++)nw[j]=0;
	}
	if(mx)FFT(now,mx,1);
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(!v[ver[i]])solve(ver[i]);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int t1,t2;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&t1,&t2);
		add(t1,t2);add(t2,t1);
	}
	size[1]=n;
	solve(1);
	ll as=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ans[i]%=p;
		as+=ans[i]*pw(i,p-2)%p;
	}
	as%=p;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		as=as*i%p;
	}
	printf("%I64d
",as);
	return 0;
}

　

E

把每条线段看成二维平面上的一个点。

相当于求从(0,0)点到(n+1,n+1)的一条权值和最小的一条路径，且相邻两个点之间不能有其他点。

CDQ分治+单调栈+线段树

和bzoj 4273很像。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100055
#define inf 2147483647
#define ls x<<1,l,mid
#define rs x<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
int n;
int p[N],v[N];
int a[N*4];
void gai(int x,int l,int r,int pos,int z)
{
	if(l==r)
	{
		a[x]=z;return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(pos<=mid)gai(ls,pos,z);
	else gai(rs,pos,z);
	a[x]=min(a[x<<1],a[x<<1|1]);
	return ;
}
int qur(int x,int l,int r,int ll,int rr)
{
	if(l>=ll&&r<=rr)return a[x];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ll>mid)return qur(rs,ll,rr);
	if(rr<=mid)return qur(ls,ll,rr);
	return min(qur(rs,ll,rr),qur(ls,ll,rr));
}
int st1[N],top1,st2[N],top2;
int q1[N],cnt1,q2[N],cnt2,f[N];
bool cmp(int x,int y)
{
	return p[x]<p[y];
}
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r)return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(l,mid);
	top1=top2=cnt1=cnt2=0;
	for(int i=l;i<=mid;i++)q1[++cnt1]=i;
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)q2[++cnt2]=i;
	sort(q1+1,q1+cnt1+1,cmp);sort(q2+1,q2+cnt2+1,cmp);
	int pt=1;
	for(int i=1;i<=cnt2;i++)
	{
		while(pt<=cnt1&&p[q1[pt]]<=p[q2[i]])
		{
			while(top1&&st1[top1]<q1[pt])
			{
				gai(1,1,n,p[st1[top1]],inf);
				top1--;
			}
			gai(1,1,n,p[q1[pt]],f[q1[pt]]+v[q1[pt]]);
			st1[++top1]=q1[pt];
			pt++;
		}
		while(top2&&st2[top2]>q2[i])top2--;
		int tmp=0;
		if(top2)tmp=p[st2[top2]]+1;
		f[q2[i]]=min(f[q2[i]],qur(1,1,n,tmp,p[q2[i]]));
		st2[++top2]=q2[i];
	}
	while(top1)gai(1,1,n,p[st1[top1]],inf),top1--;
	solve(mid+1,r);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);
	for(int i=1;i<=4*(n+1);i++)a[i]=inf;
	p[n+1]=n+1;p[0]=0;
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[0]=0;
	solve(0,n+1);
	printf("%d
",f[n+1]);
	return 0;
}

　　

H

按极角排序，然后用一条线扫过去。

然后狂WA第5个点，去膜了下Claris的代码，发现有些细节写错了。。。

当一个点左右两个点极角比它小的时候，那么答案会加一，否则会减一。

如果连续一条直线上极角都相等，只拿端点算贡献。

然后这些点分为两类，假设现在答案要加一。

如果这个点在右下(意会一下)，那么只有扫描线扫过这个点时答案才会加一。

如果在左上，那么扫到这个点时答案已经加了一。

讨论一下，具体看代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
int n;
struct node
{
	int x,y;
	node(){;}
	node(int _x,int _y)
	{
		x=_x;y=_y;
	}
	friend node operator - (const node &aa,const node &bb)
	{
		return node(aa.x-bb.x,aa.y-bb.y);
	}
}a[N];
int p[N];
ll cj(const node &aa,const node &bb)
{
	return 1LL*aa.x*bb.y-1LL*aa.y*bb.x;
}
bool in[N],ok[N];
bool cmp(int x,int y)
{
	return cj(a[x],a[y])>0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
	a[0]=a[n];a[n+1]=a[1];
	for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=i;
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	int sum=0,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;)
	{
		node as=a[p[i]];
		int tmp=0;
		for(;i<=n&&cj(as,a[p[i]])==0;i++)
		{
			if(cj(a[p[i]+1],a[p[i]])<0&&cj(a[p[i]-1],a[p[i]])<=0)
			{
				if(cj(a[p[i]-1]-a[p[i]],a[p[i]+1]-a[p[i]])>0)sum++;
				else tmp++;
			}
			if(cj(a[p[i]+1],a[p[i]])>0&&cj(a[p[i]-1],a[p[i]])>=0)
			{
				if(cj(a[p[i]-1]-a[p[i]],a[p[i]+1]-a[p[i]])<0)sum--;
				else tmp--;
			}
		}
		ans=max(ans,sum);
		sum+=tmp;
		ans=max(ans,sum);
	}
	printf("%d
",ans+1);
	
	return 0;
}

　　

I

傻逼题，一个子树要么给上边提供一个两个叶子的小子树，要么是一个叶子或零个，其他的只能直接配对，画画图大力分类讨论+贪心。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
int n;
int head[N],ver[N*2],nxt[N*2],tot;
void add(int a,int b)
{
	tot++;nxt[tot]=head[a];head[a]=tot;ver[tot]=b;return ;
}
int du[N],root;
int ans;
int dfs(int x,int f)
{
	int t1=0,t2=0;
	int cnt=0;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(ver[i]==f)continue;
		cnt++;
		int tmp=dfs(ver[i],x);
		if(tmp==1)t1++;
		else if(tmp==2)t2++;
	}
	if(!cnt)return 1;
	while(t2>=2)t2-=2,ans++;
	while(t1>=3)t1-=2,ans++;
	if(!t1)
	{
		if(t2==1)return 2;
		return 0;
	}
	if(t1==1)
	{
		if(t2==1)return 2;
		return 1;
	}
	else
	{
		if(!t2)return 2;
		else if(t2==1){ans++;return 1;}
		else {ans++;return 2;}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	if(n==2)
	{
		puts("1");
		return 0;
	}
	int t1,t2;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&t1,&t2);
		add(t1,t2);add(t2,t1);
		du[t1]++;du[t2]++;	
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)if(du[i]>1)root=i;
	int tmp=dfs(root,-1);
	if(tmp==2)ans++;
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

　　

J

先假设一共有无数个0。

枚举右端点，枚举左端点，然后把中间的1去掉，剩下的操作往里边塞0。

列下式子发现左端点单调，可以用单调队列优化。

最后把ans和0的个数取个min。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000005
using namespace std;
char s[N];
int n,mx,sum[N];
int q[N];
void solve(int x)
{
	int ha=1,ta=1;
	q[1]=0;int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(ta>=ha&&sum[i]-sum[q[ha]]>x)ha++;
		if(ta>=ha)
		{
			ans=max(ans,i-2*sum[i]+x+2*sum[q[ha]]-q[ha]);
		}
		while(ta>=ha&&2*sum[q[ta]]-q[ta]<=2*sum[i]-i)ta--;
		q[++ta]=i;
	}
	printf("%d
",min(ans,mx));
	return ;
}
int main()
{
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum[i]=sum[i-1];
		if(s[i]=='1')sum[i]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)if(s[i]=='0')mx++;
	int q;scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		int cnt;scanf("%d",&cnt);
		solve(cnt);
	}
	return 0;
}