线段树应用及概况

线段树概述及模板

 

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

#include <iostream>  
using namespace std;  
  
const int maxind = 256;  
int segTree[maxind * 4 + 10];  
int array[maxind];   
/* 构造函数，得到线段树 */  
void build(int node, int begin, int end)    
{    
    if (begin == end)    
        segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */  
    else    
    {     
        /* 递归构造左右子树 */   
        build(2*node, begin, (begin+end)/2);    
        build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);   
           
        /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */    
        if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])    
            segTree[node] = segTree[2 * node];    
        else    
            segTree[node] = segTree[2 * node + 1];    
    }    
}  
  
int main()  
{  
    array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;  
    build(1, 0, 5);  
    for(int i = 1; i<=20; ++i)  
     cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl;  
    return 0;  
}   

 此build构造成的树如图：

(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

 

int query(int node, int begin, int end, int left, int right)    
{   
    int p1, p2;    
    
    /*  查询区间和要求的区间没有交集  */  
    if (left > end || right < begin)    
        return -1;    
    
    /*  if the current interval is included in  */    
    /*  the query interval return segTree[node]  */  
    if (begin >= left && end <= right)    
        return segTree[node];    
    
    /*  compute the minimum position in the  */  
    /*  left and right part of the interval  */   
    p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);   
    p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);    
    
    /*  return the expect value  */   
    if (p1 == -1)    
        return p2;    
    if (p2 == -1)    
        return p1;    
    if (p1 <= p2)    
        return  p1;    
    return  p2;      
}   

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

 

void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/    
{    
    
    if( begin == end )    
    {    
        segTree[node] += add;    
        return ;    
    }    
    int m = ( left + right ) >> 1;    
    if(ind <= m)    
        Updata(node * 2,left, m, ind, add);    
    else    
        Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);    
    /*回溯更新父节点*/    
    segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);     
         
}   

b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

 

void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/  
   
{  
   
  if (a <= p->Left && p->Right <= b)  
   
  /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/  
   
  {  
   
     ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/  
   
     return;  
   
  }  
   
  Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/  
   
  int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 
  
  if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/  
   
  if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/  
   
  Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/  
   
}  

3:主要应用

(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）

 

二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

 

#include<iostream>    
  
using namespace std;    
    
#define MAXN 100    
#define MAXIND 256 //线段树节点个数    
    
//构建线段树,目的:得到M数组.    
void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])    
{    
    if (b == e)    
        M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标    
    else    
    {     
        build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);    
        build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);    
  
        if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])    
            M[node] = M[2 * node];    
        else    
            M[node] = M[2 * node + 1];    
    }    
}    
    
//找出区间 [i, j] 上的最小值的索引    
int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)    
{    
    int p1, p2;    
    
    //查询区间和要求的区间没有交集    
    if (i > e || j < b)    
        return -1;    
  
    if (b >= i && e <= j)    
        return M[node];    
   
    p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);    
    p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);    
    
    //return the position where the overall    
    //minimum is    
    if (p1 == -1)    
        return M[node] = p2;    
    if (p2 == -1)    
        return M[node] = p1;    
    if (A[p1] <= A[p2])    
        return M[node] = p1;    
    return M[node] = p2;    
    
}    
    
    
int main()    
{    
    int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.    
    memset(M,-1,sizeof(M));    
    int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};    
    build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);    
    cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;    
    return 0;    
}   

模板2：

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

 

#include <cstdio>    
#include <algorithm>    
using namespace std;    
     
#define lson l , m , rt << 1    
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
#define root 1 , N , 1   
#define LL long long    
const int maxn = 111111;    
LL add[maxn<<2];    
LL sum[maxn<<2];    
void PushUp(int rt) {    
    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];    
}    
void PushDown(int rt,int m) {    
    if (add[rt]) {    
        add[rt<<1] += add[rt];    
        add[rt<<1|1] += add[rt];    
        sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));    
        sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);    
        add[rt] = 0;    
    }    
}    
void build(int l,int r,int rt) {    
    add[rt] = 0;    
    if (l == r) {    
        scanf("%lld",&sum[rt]);    
        return ;    
    }    
    int m = (l + r) >> 1;    
    build(lson);    
    build(rson);    
    PushUp(rt);    
}    
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {    
    if (L <= l && r <= R) {    
        add[rt] += c;    
        sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);    
        return ;    
    }    
    PushDown(rt , r - l + 1);    
    int m = (l + r) >> 1;    
    if (L <= m) update(L , R , c , lson);    
    if (m < R) update(L , R , c , rson);    
    PushUp(rt);    
}    
LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {    
    if (L <= l && r <= R) {    
        return sum[rt];    
    }    
    PushDown(rt , r - l + 1);    
    int m = (l + r) >> 1;    
    LL ret = 0;    
    if (L <= m) ret += query(L , R , lson);    
    if (m < R) ret += query(L , R , rson);    
    return ret;    
}    
int main() {    
    int N , Q;    
    scanf("%d%d",&N,&Q);    
    build(root);    
    while (Q --) {    
        char op[2];    
        int a , b , c;    
        scanf("%s",op);    
        if (op[0] == 'Q') {    
            scanf("%d%d",&a,&b);    
            printf("%lld
",query(a , b ,root));    
        } else {    
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);    
            update(a , b , c , root);    
        }    
    }    
    return 0;    
}