LeetCode312. Burst Balloons

Given n balloons, indexed from 0 to n-1. Each balloon is painted with a number on it represented by array nums. You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon i you will get nums[left] * nums[i] * nums[right] coins. Here left and right are adjacent indices of i. After the burst, the left and right then becomes adjacent.

Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.

Note:

• You may imagine nums[-1] = nums[n] = 1. They are not real therefore you can not burst them.
• 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

Example:

Input: [3,1,5,8]
Output: 167 
Explanation: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
             coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

思路

解法有backtrack和dp两种，首先还是来分析题目。

这题的要素有：n 个气球，从0到n-1编号，每个气球都标记了一个硬币数字。戳爆其中一个会得到指定的coings，与相邻的两个数字的乘积是所获得的硬币数。那么如何确定戳爆顺序使得获得的硬币数目最大？难点在于不同的戳爆顺序会相互影响。

从最后戳爆的气球位置入手，如果最后戳爆的气球是位置i上的气球，那么可以肯定的是在它之前的 0~i-1 位置上的气球肯定被戳爆了，i+1到n-1位置上的气球也被戳爆了。递归遍历所有的i即可。

public int maxCoins(int[] iNums) {
    int[] nums = new int[iNums.length + 2]; // 构造新数组，方便计算
    int n = 1;
    for (int x : iNums) if (x > 0) nums[n++] = x;
    nums[0] = nums[n++] = 1;　　// 这里一直用n++是因为要忽视iNums的0，这样n最后不一定等于iNum的长度


    int[][] memo = new int[n][n]
    return burst(memo, nums, 0, n - 1); // 从1到n-1位置上搜索，即left+1~right，之所以n-1是因为上面的n++使得n到了末尾1的后一位
}

public int burst(int[][] memo, int[] nums, int left, int right) {
    if (left + 1 == right) return 0;　　// 如果left+1==right，因为是从left+1到right-1处遍历的。遍历结束，直接返回
    if (memo[left][right] > 0) return memo[left][right];　　// 如果已计算过，则不需再次计算
    int ans = 0;
    for (int i = left + 1; i < right; ++i) // 初始从left+1到right-1，对应起来正好是iNums中的0~n-1
        ans = Math.max(ans, nums[left] * nums[i] * nums[right] 
        + burst(memo, nums, left, i) + burst(memo, nums, i, right));
    memo[left][right] = ans;
    return ans;
}

DP解法如下：

public int maxCoins(int[] iNums) {
    int[] nums = new int[iNums.length + 2];
    int n = 1;
    for (int x : iNums) if (x > 0) nums[n++] = x;
    nums[0] = nums[n++] = 1;

    int[][] dp = new int[n][n];

 // k表示计算步长，从right=left+2开始。因为i从left+1到right-1遍历，所以一开始只计算left和right之间只隔了一位的情况
    for (int k = 2; k < n; ++k)
            for (int left = 0; left < n - k; ++left) {
            int right = left + k;
            for (int i = left + 1; i < right; ++i)　　// 在子问题dp[left][right]下，遍历每个可能的最后引爆的气球，以求出子问题的最优解
                dp[left][right] = Math.max(dp[left][right], 
                nums[left] * nums[i] * nums[right] + dp[left][i] + dp[i][right]);　　// 左边界是left，右边界是right
        }

    return dp[0][n - 1];
}