https://loj.ac/problem/10168
题目描述
求出一段区间内与(7)无关的数的平方和，我们定义这个数与(7)有关当且仅当这个数满足下列条件之一：1、某一位为(7)；2、数位和为(7)的倍数；3、这个数本身是(7)的倍数。
思路
这题并不算裸的数位(dp)题，显然如果对于计数我们很容易得到这个区间内满足条件的个数，而为了使数位(dp)的(dp)能够有子状态重叠，我们仍然考虑计数，不过对于每一位的处理可以转化为记录它的状态，我们用一个三元组((cnt,sum,sqsum))描述这个状态，它代表这这个状态下符合条件的数的个数(cnt)，这后几位数的和对答案的贡献，后几位的平方和对答案的贡献。显然(cnt)可以直接求出来。
而对于另两个值，我们考虑当前位为(pos)，选取的值为(i)，(tmp)为传回来的答案，那么显然(ans.sum=(ans.sum+tmp.cnt*10^{pos}*i))，因为每一个符合条件的数这一位都为(i)，对和有(i*10^{pos})的贡献。而对于平方和，我们要求的实际就是(sum(i*10^{pos}+x)^2)((x)符合条件)，所以我们暴力把它拆开，得到(sum (i^2*10^{2*pos}+2*i*10^{pos}*x+x^2))，再把求和拆开得(sum i^2*10^{2*pos}+sum 2*i*10^{pos}*x+sum x^2)，这个我们可以用得到的三元组((cnt,sum,sqsum))直接转移。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
struct Node
{
ll cnt,sum,sqsum;
Node(ll cnt=0,ll sum=0,ll sqsum=0):cnt(cnt),sum(sum),sqsum(sqsum){}
};
Node dp[31][11][11];
ll p[30];
ll power[30];
ll sqr(ll x)
{
return x*x%mod;
}
Node dfs(ll pos,ll s1,ll s2,ll flag)
{
// cout<<pos<<'z'<<endl;
if(pos==0)
return Node(s1!=0&&s2!=0,0,0);
if(!flag&&~dp[pos][s1][s2].cnt)return dp[pos][s1][s2];
Node tmp,ans=Node(0,0,0);
ll end=flag?p[pos]:9;
// cout<<pos<<' '<<end<<endl;
for(ll i=0;i<=end;i++)
{
if(i==7)continue ;
tmp=dfs(pos-1,(s1+i)%7,(s2*10+i)%7,flag&&i==end);
ans.cnt+=tmp.cnt;
ans.cnt%=mod;
ans.sum+=(tmp.sum+tmp.cnt*power[pos]%mod*i%mod)%mod;
ans.sum%=mod;
ans.sqsum+=(tmp.sqsum+2*power[pos]*i%mod*tmp.sum%mod+sqr(i)*sqr(power[pos])%mod*tmp.cnt%mod)%mod;
ans.sqsum%=mod;
}
if(!flag)dp[pos][s1][s2]=ans;
return ans;
}
ll solve(ll x)
{
memset(p,0,sizeof(p));
ll cnt=0;
while(x)
{
p[++cnt]=x%10;
x/=10;
}
return dfs(cnt,0,0,1).sqsum;
}
ll read()
{
ll res=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
return res*w;
}
void write(ll x)
{
if(x<0){putchar('-');x=-x;}
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
void writeln(ll x)
{
write(x);
putchar('
');
}
int main()
{
ll t=read();
power[1]=1;
for(ll i=2;i<=21;i++)
power[i]=(power[i-1]*10)%mod;
for(ll i=0;i<=21;i++)
for(ll j=0;j<=10;j++)
for(ll k=0;k<=10;k++)
dp[i][j][k].cnt=-1;
while(t--)
{
ll l=read(),r=read();
writeln(((solve(r)-solve(l-1))%mod+mod)%mod);
}
}