任务安排 2

https://loj.ac/problem/10185

题目描述

  有(N)个任务，每个任务有一定的完成时间(T_i)和费用系数(C_i)，每一批任务完成的时间为启动时间(S)加上完成的总时间，费用这个任务为所在批次的完成时间乘上它的费用系数，求最小代价。

思路

  比较容易得到一个(N^3)的(dp)，我们考虑暴力枚举任务和批次，令(f[i][j])表示前(i)个任务分成(j)批的最小代价，在预处理完前缀和之后，那么(f[i][j]=min{f[k][j-1]+(j*S+sumT[j]-sumT[k])*(sumC[j]-sumC[k])})，直接求即可。

  考虑前一个做法中批次并没有关键的用途，我们需要的仅仅是机器的启动次数，用滚动数组优化空间后，考虑到每次启动都会对后续有影响，我们可以直接计算这个费用。令(f[i])表示前(i)个任务的最小花费(包括后续影响)，那么(f[i]=min{f[j]+sumT[i]*(sumC[i]-sumC[j])+S*(sumC[n]-sumC[j])})，复杂度为(N^2)

  我们再进行优化，去掉小括号，并化简，可得：

[f[j]=(sumT[i]+S)sumC[j]+f[i]-sumT[i]*sumC[i]-S*sumC[n] ]

  这样我们就可以看做一个与(j)相关的一次函数，每个点为((sumC[j],f[j]))，对于当前的(i)，由于除(f[i])都是确定的，我们只要让直线的截距最小即可，这个可以通过维护下凸壳来实现，复杂度为(O(N))

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10;

int read()
{
	int res=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return res*w;
}

int sumt[N],sumc[N],f[N],q[N];
int main()
{
	int n=read(),s=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sumt[i]=sumt[i-1]+read(),
		sumc[i]=sumc[i-1]+read();
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(l<r&&(f[q[l+1]]-f[q[l]])<=(s+sumt[i])*(sumc[q[l+1]]-sumc[q[l]]))l++;
		f[i]=f[q[l]]-(s+sumt[i])*sumc[q[l]]+sumt[i]*sumc[i]+s*sumc[n];
		while(l<r&&(f[q[r]]-f[q[r-1]])*(sumc[i]-sumc[q[r]])>=(f[i]-f[q[r]])*(sumc[q[r]]-sumc[q[r-1]]))
			r--;
		q[++r]=i;
//		cout<<f[i]<<endl;
	}
	printf("%d
",f[n]);
}