基于大整数因子分解困难问题--RSA公钥密码算法

RSA公钥密码算法

RSA的安全性依赖于大数分解，

在RSA私钥和公钥生成的过程中，共出现过p,q,n,φ(n),e,d，其中(n,e组成公钥)，其他的都不是公开的，一旦d泄露，就等于私钥泄露。那么能不能根据n,e推导出d呢？

ed ≡ 1(mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d
φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n）
n=pq,只有将n分解才能算出p和q

所以，只有将n质因数分解，才能算出d。也就意味着私钥破译。

但是，大整数的质因数分解是非常困难的。

RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。分解n是最显然的攻击方法。人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n必须选大一些，因具体适用情况而定。

一：简介

RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起提出的。

算法简介：https://baike.so.com/doc/133562-141114.html

二：算法描述

密钥生成：选取大素数p,q,计算n=pq，以及n的欧拉函数，φ(n)= φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)

选取e（1<e<φ(n)）,e 与φ(n)互素，计算d，使得ed=1（modφ(n)）

公钥为（n，e），私钥为（n，d）

加密：c=m^emod n

解密：e=m^dmod n

三：涉及到的知识点

欧拉函数φ(n)表示不大于n且与n互素的正整数的个数。

当n是素数，φ(n)=n-1。n=pq,p,q均为素数时，则φ(n)= φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)。

对于互素的a和n，有a^φ(n)≡1(mod n)

如何利用计算机程序从公钥e,以及φ(n)求得私钥d?

问题可以化为求: e *x +φ(n)* y = 1 类型的方程，利用扩展欧几里得算法求解

那如何在计算机内验证他们互质呢，此时就要用到欧几里德算法（就是小学时候的最大公约数），如果e和phi(n)的最大公约数为1，他们就互质。

费马定理

若p是素数，a与p互素，则

a^(p-1)≡1 (mod p)