[LeetCode] 516. 最长回文子序列 ☆☆☆(动态规划)

https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-subsequence/solution/zi-xu-lie-wen-ti-tong-yong-si-lu-zui-chang-hui-wen/

描述

给定一个字符串s，找到其中最长的回文子序列。可以假设s的最大长度为1000。

示例 1:
输入:

"bbbab"
输出:

4
一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2:
输入:

"cbbd"
输出:

2
一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

解析

基本思路

 我们说这个问题对 dp 数组的定义是：在子串 s[i..j] 中，最长回文子序列的长度为 dp[i][j]。一定要记住这个定义才能理解算法。

为啥这个问题要这样定义二维的 dp 数组呢？我们前文多次提到，找状态转移需要归纳思维，说白了就是如何从已知的结果推出未知的部分，这样定义容易归纳，容易发现状态转移关系。

具体来说，如果我们想求 dp[i][j]，假设你知道了子问题 dp[i+1][j-1] 的结果（s[i+1..j-1] 中最长回文子序列的长度），你是否能想办法算出 dp[i][j] 的值（s[i..j] 中，最长回文子序列的长度）呢？

可以！这取决于 s[i] 和 s[j] 的字符：

如果它俩相等，那么它俩加上 s[i+1..j-1] 中的最长回文子序列就是 s[i..j] 的最长回文子序列：

如果它俩不相等，说明它俩不可能同时出现在 s[i..j] 的最长回文子序列中，那么把它俩分别加入 s[i+1..j-1] 中，看看哪个子串产生的回文子序列更长即可：

 以上两种情况写成代码就是这样：

if (s[i] == s[j])
    // 它俩一定在最长回文子序列中
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
else
    // s[i+1..j] 和 s[i..j-1] 谁的回文子序列更长？
    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

至此，状态转移方程就写出来了，根据 dp 数组的定义，我们要求的就是 dp[0][n - 1]，也就是整个 s 的最长回文子序列的长度。

具体实现

首先明确一下 base case，如果只有一个字符，显然最长回文子序列长度是 1，也就是 dp[i][j] = 1 (i == j)。

因为 i 肯定小于等于 j，所以对于那些 i > j 的位置，根本不存在什么子序列，应该初始化为 0。

另外，看看刚才写的状态转移方程，想求 dp[i][j] 需要知道 dp[i+1][j-1]，dp[i+1][j]，dp[i][j-1] 这三个位置；再看看我们确定的 base case，填入 dp 数组之后是这样：

 为了保证每次计算 dp[i][j]，左下右方向的位置已经被计算出来，只能斜着遍历或者反着遍历：

 我选择反着遍历，代码如下：

代码

int longestPalindromeSubseq(String s) {
    int n = s.size();
    // dp 数组全部初始化为 0
    int[][] dp = new int[n][n];// base case
    for (int i = 0; i < n; i++)
        dp[i][i] = 1;
    // 反着遍历保证正确的状态转移
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            // 状态转移方程
            if (s[i] == s[j])
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    // 整个 s 的最长回文子串长度
    return dp[0][n - 1];
}