[LeetCode] 322. 零钱兑换 ☆☆☆(动态规划)

动态规划套路详解

描述

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
 

说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

解析

这是符合最优子结构的。

比如你想求 amount = 11 时的最少硬币数（原问题），如果你知道凑出 amount = 10 的最少硬币数（子问题），你只需要把子问题的答案加一（再选一枚面值为 1 的硬币）就是原问题的答案，因为硬币的数量是没有限制的，子问题之间没有相互制，是互相独立的。

思考如何列出正确的状态转移方程。

先确定「状态」，也就是原问题和子问题中变化的变量。由于硬币数量无限，所以唯一的状态就是目标金额 amount。

然后确定 dp 函数的定义：当前的目标金额是 n，至少需要 dp(n) 个硬币凑出该金额。

然后确定「选择」并择优，也就是对于每个状态，可以做出什么选择改变当前状态。具体到这个问题，无论当的目标金额是多少，选择就是从面额列表 coins 中选择一个硬币，然后目标金额就会减少：

# 伪码框架
def coinChange(coins: List[int], amount: int):
    # 定义：要凑出金额 n，至少要 dp(n) 个硬币
    def dp(n):
        # 做选择，选择需要硬币最少的那个结果
        for coin in coins:
            res = min(res, 1 + dp(n - coin))
        return res
    # 我们要求的问题是 dp(amount)
    return dp(amount)

最后明确 base case，显然目标金额为 0 时，所需硬币数量为 0；当目标金额小于 0 时，无解，返回 -1。

代码

int coinChange(int[] coins, int amount) {
        // 数组大小为 amount + 1，初始值也为 amount + 1
        int[] dp = new int[amount + 1];
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            dp[i] = amount + 1;//当然这里可以是Integer.MAX_VALUE，只需要下面比较时，取较小值就行。
        }
        // base case
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            // 内层 for 在求所有子问题 + 1 的最小值
            for (int coin : coins) {
                // 子问题无解，跳过
                if (i - coin < 0) continue;
                dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);
            }
        }
        return (dp[amount] == amount + 1) ? -1 : dp[amount];
    }

PS：为啥 dp 数组初始化为 amount + 1 呢，因为凑成 amount 金额的硬币数最多只可能等于 amount（全用 1 元面值的硬币），所以初始化为 amount + 1 就相当于初始化为正无穷，便于后续取最小值。