单纯形法

单纯形法的来历

　　在求解LP问题时，有人给出了图解法，但对多维变量时,却无能为力。

　　于是，美国数学家G.B. Dantzig (丹捷格)发明了一种“单纯形法”的代数算法，尤其是方便于计算机运算。这是运筹学史上最辉煌的阶段。

与单纯形法有关的三条定理：

　　

翻译一下就是：

• 若某个基本可行解对应的检验向量<0，那么这个基本可行解就是最优的。

• 若某个基本可行解对应的检验向量=0，则有无穷多个最优解。

• 若某个基本可行解对应的检验向量>0，并且系数(约束条件)小于0，无解。

${C_N}$——非基变量系数

${C_B}$——基变量系数

B——基，即线性无关向量组R(A)=R(B)

N——非基向量组

 

单纯形法计算步骤： 

1. 将线性规划问题化成标准型 (引入松弛变量)

2. 找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。

3. 计算各非基变量的检验数${\sigma _j} = {c_j} - {z_j}$ 若所有检验数≤0，则问题已得到最优解，停止计算。否则，转入下一步。(检验数)

4. 在大于0的检验数中，若某个检验数对应的系数列向量≤ 0，则此问题是无界解，停止计算，否则转入下步。

5. 根据$max$（检验数$j$ | 检验数$j$>0）=检验数k的原则，确定为换入变量(进基变量) 再按最小比值法则($\frac{{{b_i}}}{{{a_{ik}}}}$，&${a_{ik}}$>0)确定换出变量，建立新的单纯形表，此时的基变量中${x_k}$代替的换出变量的位置。

6. 以${a_{ik}}$为主元素进行迭代，把${x_k}$所对应的列向量变为单位列向量，即${a_{ik}}$变为1 同列中其他元素变为0，继续计算各非基变量的检验数，进行第三步。

&Lingo里面的方法就属于单纯形法。

　　

 

 

例题：

　　

　　①先引入三个松弛变量，构造单位矩阵。

　　

　　②得到单位矩阵，构造出初始可行基B

　　

　　从中我们可以get信息：基向量组B和非基向量组N

　　还可以知道所有变量的系数所组成的向量C和基变量${X_B}$、非基变量${X_N}$：

　　

 　　我们需要的检验数就是系数减去${Z_j}$（${\sigma _j} = {c_j} - {z_j}$，${Z_j} = {C_B}{N_j}$）    

　　这是目标函数：$Z = {C_B}{B^{ - 1}}b + ({C_N} - {C_B}{B^{ - 1}}N){X_N}$      (b就是增广矩阵多出来的那些)

　　当基矩阵B化成单位矩阵时，令非基变量${X_N}$=0，得到 $Z = {C_B}{B^{ - 1}}b$ 

 

　　③进行步骤3--6

　　

　　填入信息

　　

 

　　刚开始，基变量的系数全为0，所以Z=0，${Z_j}$=0，可以写出对应的检验数：

x1	x2	s1	s2	s3
50	100	0	0	0

 

　　可以看出，${x_2}$对应的检验数最大，成为换入变量，而且根据最小值法则，知道${s_3}$是换出变量。于是将${s_3}$的位置换上${x_2}$，对应的系数也变成了100。

　　

 

　　我们再进行初等行变换，使${x_2}$，${s_1}$，${s_2}$对应的基矩阵变成单位矩阵。在此基础上进行计算${Z_j}$，就可以利用其算出新一轮的检验数：

　　

　　我们可以发现，仍然存在检验数大于0的情况，唉，只能进入新一轮的迭代，${x_1}$作为换入变量，而经过最小比值规则，可以判定出${s_1}$是换出变量

　　

　　然后，我们再根据新的数据，写出新一轮的${Z_j}$和 检验数 ，发现此时的检验数全部≤0，我们成功地找到了最优解！

　　

　　结束啦！

　　表格中，检验数全部≤0，根据判断规则，Z值为最优值（Z=27500），其解：

　　 ${X_1}$=50，${s_1}$=50，${X_2}$=250，${s_2}$=${s_3}$=0

　　为模型的最优解。