zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 根据贝叶斯公式求解三门问题

    本问题用到的公式

    条件概率公式和乘法公式:

    [P(A|B) = displaystylefrac{P(AB)}{P(B)} ]

    (Rightarrow)

    [P(AB) = P(B)P(AB) ]

    [P(AB) = P(A)P(B|A) ]

    全概率公式:

    (A_1, A_2, ..., A_n) 是对 (Omega) 的一个划分:

    [(1) A_iA_j = varnothing, i eq j (2) displaystylesum_{i = 1}^{infty}A_i = Omega ]

    则对任何事件B有

    [P(B) = displaystylesum_{i = 1}^{infty}P(A_i)P(B|A_i) ]

    贝叶斯公式(Bayes):

    (A_1, A_2, ..., A_n) 是对 (Omega) 的一个划分,则

    [P(A_i|B) = displaystylefrac{P(A_i)P(B|A_i)}{displaystylesum_{j = 1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}, i = 1, 2, ..., n ]

    问题描述

    1990年,美国《Parade展示》杂志“Ask Marilyn”专栏的主持人玛莉莲·莎凡收到了一名读者的提问:假设你正在参加一个游戏节目,你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车,其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门,假设是一号门,然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗?

    问题解答

    这个问题根据贝叶斯公式得出的解法是相同的,但是表述会有不同,下面列举两个表述(我个人认为第二种表述更容易理解一些):

    表述一

    设 $A_i = $ {第 i 号门后是汽车},i = 1,2,3;

    $B_j = $ {选择第 j 号门},j = 1,2,3

    $C = $ {主持人不知道哪个门是汽车,打开了 3 号门是山羊},

    [P(A_1 | B_1C) = ? P(A_2 | B_1C) = ? ]

    [P(B_1C) = sum_{i = 1}^{3}P(A_iB_1C) = sum_{i = 1}^{3}P(A_iB_1)P(C|A_iB_1) = P(A_1B_1)P(C|A_1B_1) + P(A_2B_1)P(C|A_2B_1) + P(A_3B_1)P(C|A_3B_1) = frac{1}{3} imes frac{1}{3} (frac{1}{2} + 1 + 0) = frac{1}{6} ]

    [P(A_1|B_1C) = frac{P(A_1B_1)P(C|A_1B_1)}{P(B_1C)} = frac{frac{1}{9} imes frac{1}{2}}{frac{1}{6}} = frac{1}{3} P(A2|B_1C) = frac{frac{1}{9} imes 1}{frac{1}{6}} = frac{2}{3} ]

    表述二

    分析:

    1. 因为假定玩家选择的是 1 号门,所以,如果 1 号门后是汽车,则主持人会随机打开 2、3 号门,打开的概率都是 (frac{1}{2});
    2. 如果 1 号门后面不是汽车,则主持人一定会打开 2 号门或 3 号门中的一扇,概率分别为 0 和 1.

    解:

    设事件 (A_i(i = 1, 2, 3)) 为“第 i 扇门后有汽车”,事件 B 为“主持人打开 3 号门”,则:

    [P(A_1) = frac{1}{3} P(A_2) = frac{1}{3} P(A_3) = frac{1}{3} ]

    易得:第 i 扇门后有汽车主持人打开 3 号门的概率 (P(B|A_i)):

    • 第1扇门后有汽车,主持人打开3号门的概率为 (P(B|A_1) = frac{1}{2})
    • 第2扇门后有汽车,主持人打开3号门的概率为 (P(B|A_2) = 1)
    • 第3扇门后有汽车,主持人打开3号门的概率为 (P(B|A_3) = 0)

    所以 (P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) = frac{1}{2}),

    最终想要求的结果:主持人打开 3 号门之后 第 i 号门后有汽车的概率 (P(A_i|B))

    [P(A_1|B) = displaystylefrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = displaystylefrac{frac{1}{3} imes frac{1}{2}}{frac{1}{2}} = frac{1}{3} ]

    [P(A_2|B) = displaystylefrac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = displaystylefrac{frac{1}{3} imes 1}{frac{1}{2}} = frac{2}{3} ]

    由此可知,玩家应该换一扇门。

    注:我的迷惑点是为什么主持人打开 3 号门这样的事情也要算概率呀,还有,为什么就可以直接假设主持人选择了 3 号门呀,这样真的没有问题吗,我不确定,对,之前是不确定,可是在困惑了几乎今天整整一天时,我仿佛顿悟了,选门是一定要选的,而且我现在是按照第二种描述来理解的,所以关于选门这件事情是一定要搞清楚的,选门对我来说就是这个问题的症结所在 ,所谓条件概率,就是要算出作为条件的那个概率嘛。至于为什么想通了,是因为注意到了之前的条件,就是假定玩家选择了1号门这件事情是可以理解的,然后主持人肯定是要另外再开一扇门的嘛,那就从剩下的两扇门中选一扇好了,选是一定要选的,在选的时候,你无论选两扇门中的哪一扇最后算出来的 (P(B)) 都是相同的,这就解释了为什么我们可以假定主持人选择了3号门,因为这也是概率事件,至于主持人选择的门一定是有山羊的门,那就是附带的必然条件了。然后最后求解后验概率当然就是要利用条件概率来球了。其实到这里我还是理解得不是很透彻,不过,先到这里吧,总之考试时候遇上了是肯定不虚的,至于透彻理解什么的,以后遇到的时候说不定再想想就会更加深刻吧。

    参考:文章链接

  • 相关阅读:
    iOS中Zbar二维码扫描的使用
    SOJ 1135. 飞跃原野
    SOJ 1048.Inverso
    SOJ 1219. 新红黑树
    SOJ 1171. The Game of Efil
    SOJ 1180. Pasting Strings
    1215. 脱离地牢
    1317. Sudoku
    SOJ 1119. Factstone Benchmark
    soj 1099. Packing Passengers
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/fanlumaster/p/13723146.html
Copyright © 2011-2022 走看看