先从最简单的一次插值(n = 1) 开始, 求作一次式 (L_{1}(x)), 使之满足条件
[L_{1}(x_{0}) = y_0, quad L_1(x_1) = y_1.
]
从几何上看, (y = L_1(x)) 即是过点 ((x_0, y_0)) 和 ((x_1, y_1)) 的直线, 由解析几何知道, 这条直线可用点斜式表示为
[L_1(x) = y_0 + frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0). ag{1}
]
线性插值公式 ((1)) 亦可表为下列两点式
[L_1(x) = frac{x - x_1}{x_0 - x_0}y_0 + frac{x - x_0}{x_1 - x_0}y_1. ag{2}
]
若记
[l_0(x) = frac{x - x_1}{x_0 - x_1}, quad l_1(x) = frac{x - x_0}{x_1 - x_0},
]
则式 ((2)) 还可写为
[L_1(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x) = sum_{i = 0}^{1}y_il_i(x),
]
其中, (l_i(x)) 称为插值基函数, 它们的图形见下图,
且有如下特点:
[left{
egin{matrix}
egin{align}
& l_0(x) + l_1(x) = 1, \
& l_0(x_0) = 1, : l_0(x_1) = 0, \
& l_1(x_0) = 0, : l_1(x_1) = 1, \
end{align}
end{matrix}
ight. ag{3}
]
即
[l_i(x_j) = delta_{ij} =
left{egin{matrix}
1, quad i = j, \
0, quad i
eq j, \
end{matrix}
ight.
quad i, j = 0, 1.
]
由上可见, (displaystyle l_0(x) = frac{x - x_1}{x_0 - x_1}) 与 (displaystyle l_1(x) = frac{x - x_0}{x_1 - x_0}) 满足条件 ((3)) 且都是线性函数,反过来,如果一次函数 (l_0(x)) 与 (l_1(x)) 满足条件 ((3)), 那么可以证明, 它们只能是 (displaystyle frac{x - x_1}{x_0 - x_1}) 与 (displaystyle frac{x - x_0}{x_1 - x_0}).
事实上, 由代数多项式的性质值, 如果 (x_0) 是一个 (n) 次多项式 (L_n(x)) 的零点, 则多项式 (L_n{x}) 就一定含有一因子 ((x - x_0)), 这时
[L_n(x) = (x - x_0) L_{n - 1}(x),
]
其中, (L_{n - 1}(x)) 为 (n - 1) 次多项式.
因此, 对于一次函数 (l_0(x)), 性质 (l_1(x_1) = 0) 说明 (x_1) 是 (l_0(x)) 的零点, 这时 (l_0(x)) 含有因子 ((x - x_1)); 由于 (l_0(x)) 是一次多项式, 所以
[l_0(x)= c(x - x_1), ag{4}
]
其中, c 是常数. 又由 (l_0(x_0) = 1), 将其代入式 ((4)), 得 (displaystyle frac{1}{x_0 - x_1}), 于是得
[l_0(x)= frac{x - x_0}{x_0 - x_1}.
]
同理可得
[l_1(x) = frac{x - x_0}{x_1 - x_0}.
]
函数 (l_0(x), l_1(x)) 也常称一次 (Lagrange) 基函数.
一般情形:
求作 (n) 次式 (L_n(x)), 使之满足
[L_n(x_i) = y_i = f(x_i), quad i = 0, 1, ..., n. ag{5}
]
从几何上看, 就是求作 (n) 次曲线 (y = L_n(x)), 使之通过 ((n + 1)) 个点 ((x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)). 设
[L_n(x) = sum_{i = 0}^{n} y_i l_i(x),
]
也就是仍从构造所谓插值基函数 (l_i(x)) 入手, 由插值条件 ((5)) 知 (l_i(x)) 应满足条件 (l_i(x) = delta_{ij}, : i, j = 0, 1, ..., n), 即 (n) 次多项式 (l_i(x), : i = 0, 1, ..., n) 满足条件
[left{
egin{matrix}
egin{align}
& l_0(x_0) = 1, l_0(x_1) = 0, ..., l_0(x_n) = 0, \
& l_1(x_0) = 0, l_1(x_1) = 1, ..., l_1(x_n) = 0, \
& cdots cdots \
& l_n(x_0) = 0, l_n(x_1) = 0, ..., l_n(x_n) = 1. \
end{align}
end{matrix}
ight. ag{6}
]
由条件 ((6)) 知, (n) 次多项式 (l_0(x)) 有 (n) 个零点, 它们为 (x_1, x_2, ..., x_n), 所以
[l_0(x)= c_0(x - x_1)(x - x_2) cdots (x - x_n), ag{7}
]
其中, (c_0) 为待定常数; 把 (x = x_0) 代入式 ((7)), 并注意到 (l_0(x_0) = 1), 可推得
[l_i(x) = frac{(x - x_0) cdots (x - x_{i - 1}) (x - x_{i + 1}) cdots (x - x_n)}{(x_i - x_0) cdots (x_i - x_{i - 1})(x_i - x_{i + 1}) cdots (x_i - x_n)} = prod_{j = 0 \ i
eq j}^{n} frac{x - x_j}{x_i - x_j}. ag{8}
]
于是 (y = f(x)) 的 (n) 次插值多项式可写为
[L_n(x) = sum_{i = 0}^{n} y_il_i(x) = sum_{i = 0}^{n} (prod_{j = 0 \ j
eq i}^{n} frac{x - x_j}{x_i - x_j})y_i. ag{9}
]
易验证有 (displaystyle L_n(x_i) = sumlimits_{i = 0}^{n} y_i l_i(x_i) = y_i), 即 (L_n(x)) 满足插值条件 ((5)). 形如式 ((9)) 的插值多项式称为 (Lagrange) 插值多项式, 由式 ((8)) 所表示的 (n) 次代数多项式 (l_i(x)(i = 0, 1, ..., n)) 称为以 (x_i(i = 0, 1, ..., n)) 为节点的 (Lagrange) 插值基函数. 上述构造插值多项式的方法叫做基函数法.
特别地, 一点零次插值多项式为
[L_0(x) = y_0,
]
两点一次插值(线性插值)多项式为
[L_1(x) = frac{x - x_1}{x_0 - x_1}y_0 + frac{x - x_0}{x_1 - x_0}y_1,
]
三点二次插值(抛物插值)多项式为
[L_2(x) = frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} y_0 + frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} y_1 + frac{(x - x_0)(x - _1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} y_2. ag{10}
]
按: 本博客内容摘自《数值分析》(李红).