算法设计关于递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法

算法设计关于递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法

在算法设计中经常需要通过递归方程估计算法的时间复杂度T(n)，本文针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程进行讨论，以期望找出通用的递归方程的求解方式。

算法设计教材中给出的Master定理可以解决该类方程的绝大多数情况，根据Master定理：o-渐进上界、w-渐进下界、O-渐进确界。

设a≥1，b＞1为常数，f(n)为函数，T(n)=aT(n/b)+f(n)为非负数,令x=log_ba：

1.       f(n)=o(n^x-e)，e＞0，那么T(n)=O(n^x)。

2.       f(n)=O(n^x)，那么T(n)=O(n^x logn)。

3.       f(n)=w(n^x+e)，e＞0且对于某个常数c＜1和所有充分大的n有af(n/b)≤cf(n)，那么T(n)=O(f(n))。

然而，Master定理并没有完全包括所有的f(n)的情况。注意到条件1和3中的e总是大于0的，所以在条件1和2、条件2和3之间存在所谓的“间隙”，使得某些f(n)在该情况下不能使用该定理。因此，我们需要找到在Master定理不能使用的情况下如何解递归方程的比较通用的办法——递归树。

经过分析，递归树解法包含了Master定理，但是Master定理可以方便的判断出递归方程的解。产生这种结果的原因关键在于f(n)的形式，显然，当f(n)是n的多项式p(n)形式的话必然满足Master定理的要求，但是f(n)不是多项式就需要另当别论了。

下面就题目所列出的递归方程形式进行分析。

一、f(n)是n的多项式p(n)=f(n)

因为f(n)是多项式，设p(n)=O(n^k)，k≥0。根据递归树计算方式，有：

              T(n)= aT(n/b)+n^k 。

              T(n/b)= aT(n/b²)+(n/b)^k 。

              T((n/b²)= aT(n/b³)+( n/b²)^k 。

              ……

       于是得到：T(n)= n^k (1+ a/ b^k + (a/ b^k)² + (a/ b^k)³ +···+ (a/ b^k)^h)，h=log_bn。

       1：log_ba=k

              这种情况下a/ b^k= 1，显然T(n)= O(n^k log_bn)。

       2：log_ba≠k

              此时等比数列公比不是1，根据等比数列求和公式化简得到：

T(n)=( n^k –n^x)/(1-a/b^k)，x=log_ba。

如果log_ba<k，则T(n)= O(n^k)。

如果log_ba>k，则T(n)= O(n^x)。x=log_ba。

       通过以上的计算表明，在Master定理的条件中，针对f(n)为多项式的情况可以使用递归树的方法进行证明和计算。同样，在f(n)不是多项式的时候也可以通过的这种方式得到方程的解。

二、f(n)是一般函数

当f(n)不是n的多项式的时候，计算就会变得比较复杂，有时可能会也找不到最终的解。但是递归树的方法给我们一种更好使用的解决办法。下面根据一个简单的例子说明这一点：

当a=b=2、f(n)=nlgn时候（lgn:log₂n的简记），计算递归方程的解。

T(n)= 2T(n/2)+nlgn 。

       T(n/b)= 2T(n/2²)+(n/2)lg(n/2)。

       T((n/b²)= 2T(n/2³)+ (n/2²)lg(n/2²)。

       ……

       于是得到：T(n)= nlgn+(nlgn-lg2)+ (nlgn-2lg2)+ (nlgn-2²lg2)+···+(nlgn-2^hlg2)，h=lgn。

       根据等差、等比数列求和公式化简有：

       T(n)=n(lgn)² –(n-1)lg2，所以T(n)= O( n(lgn)²)，而不是O( nlgn)。

       通过这个例子可以看出，当f(n)不是多项式的时候计算就有可能变得比较复杂，甚至无法计算。但是通过Master定理以及具体的数学变换技巧在某些情况下还是可行的。

       综上所述，可以得出以下结论：在针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程求解方法里，使用递归树是一种比较可行的通用办法。