回溯法

1 解题要点

回溯法是利用递归来求解便利一棵多叉树，其本质是深度优先搜索，通常求解的答案为树的所有叶子结点，但我们需要根据题目的要求边剪枝边遍历。

1.1 何时用回溯法求解问题

当题目中要求所有解，并且问题规模N不是很大，可以考虑使用回溯法。

1.2 常规解题步骤

以permutation为例题，说明如何使用回溯法。

1. 画递归树
   根据题目中所给数据，依次放入一个元素进入向量中，如果达到所求的叶子，则将整个向量存入结果中。
2. 寻找剪枝条件
   一般剪枝条件具有具体的含义，需要仔细分析，或者专门写函数实现，常见条件如：

• 通过设置访问标志位来判断元素是否在本次“深入探索过程”中访问过，参见经典例题permutations II中的用法
• 每次所放入元素不能和已经放入的重复permutation
• 从当前位置之后选择元素放入combination sum II
• 放入元素与之前放入元素要满足一定条件N-quees与palindrome patition

3. 寻找求解结点
   大部分题目求解的是叶子结点，所以我们一般在dfs进入后，先判断是否达到叶子结点，若达到就保存后退出。但也有一些题目需要求解每个结点，如subsets，这时候需进入dfs后直接保存结果状态。

2 解题模板

void dfs(vector<vector<int>> &result, vector<int> &res, vector<int> &nums) {
    //如果是叶子，则存入结果
    if (res.size() == nums.size()) {
        result.push_back(res);
        return;
    }

    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
	    //剪枝条件，选择之前没有加入的元素
        if (find(res.begin(), res.end(), nums[i]) == res.end()) {
            res.push_back(nums[i]);
            dfs(result, res, nums);
            res.pop_back();  //回溯法的关键：回退
        }
    }
}

vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
    //设置保存结果的容器
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> res;   //保存每个叶子结点
    //有时候需要把遍历到哪个元素的位置pos加入形参
    dfs(result, res, nums);   
    return result;
}

3 经典题目

有的时候剪枝条件并不容易想，目前我遇到的题目剪枝方法包括：

1. 已加入本次结果的元素不再加入

if (find(res.begin(), res.end(), nums[i]) == res.end()) {
    xxx
}

2. 使用pos游标来取消之前元素的访问combination sum II，传参的时候需要加上游标pos，循环初始化时i = pos

for (int i = pos; i < nums.size(); i++) {
}

3. 使用标志位来防止重复元素的访问，比如给一定一个向量(permutationsII)或字符串(string_permutations)，要求所有排列。
   这时传参时需要带上标志位visited，是否引用都可以，不过引用可以减小传参开销

void dfs(vector<int> nums, vector<bool> &visited, vector<int> &res, vector<vector<int>> &result);

以下代码通过使用标志标志位来对重复元素进行访问

for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    // 通过以下判断来剪枝， nums此是已经被排序过了
    // case1: 当前位置元素访问过
    // case2: 当前位置元素与上个元素相同，如果上个元素没有访问过，那这个元素也没访问
    // 这样通过将强制规定相同元素的访问顺序，来排除了一些重复的解
    //注意，|| 的结合优先级小于&& ！
    if (visited[i] || i != 0 && !visited[i-1] && nums[i] == nums[i-1]) {
        continue;
    }
    visited[i] = true;
    res.push_back(nums[i]);
    dfs(nums, visited, res, result);
    res.pop_back();
    visited[i] = false;
}