LCT(1)

LCT（Link-Cut Tree，动态树）是一个支持动态修改树的结构的数据结构，其基本操作有 ( exttt{access}) , ( exttt{findroot}) , ( exttt{makeroot}), 其核心操作有 ( exttt{link}) 和 ( exttt{cut}) .

本文具体讲述 LCT 的操作内容和实际运用，不深入讨论如何得到每个具体操作。

1. LCT 简介

这里用到树链剖分的思想。LCT 的本质是动态维护链剖分。我们将树链剖分，分为实链和虚链，每一条实链用辅助树即平衡树（选择splay）来维护链上信息，每一条虚链连接各个辅助树，每棵辅助树按照深度为关键字维护。每次我们动态进行实链剖分来完成对树上信息和结构的操作。

2. LCT 的实现

接下来介绍 LCT 的各种操作：

2.1. ACCESS

( exttt{access(x)}) 是 LCT 最基本的操作，功能为将根到 (x) 的一条链变为实链。这样的用途当然是将这段路径放入一棵辅助树，方便进行操作。

这里不再手玩，直接给出操作过程 （设 (y) 为 (x) 新实链上的儿子）：

1. 将 (x) 旋转到当前辅助树的根
2. 将 (x) 辅助树中的右儿子改为 (y) 。
3. (y leftarrow x, xleftarrow fa[x]) ，向上递归操作。

具体可以这样理解：将 (x) splay 后，他的右儿子比 (x) 的深度大，即为一条实链，那我们就断掉这条实链，把 (y) 接上去，具体实现即为直接修改右儿子。

for(int y=0;x;y=x,x=fa[x]) splay(x),ch[x][1]=y,pushup(x);

2.2. MAKEROOT

( exttt{makeroot(x)}) 即将 (x) 提到原树的根。具体操作：我们 ( exttt{access(x),splay(x)}) 后，(x) 变为当前辅助树的根，且由于其深度最大，所以没有右子树。然后我们把左右子树翻转，这样就没有比 (x) 深度更小的点了， (x) 就变成根啦。

access(x),splay(x),rev[x]^=1;

2.3. FINDROOT

( exttt{findroot(x)}) 即为找 (x) 所在原树的树根（注意：LCT维护的不一定是一棵树，可能是森林！）。

具体操作： ( exttt{access(x),splay(x)}) 后，一路走到最左边即可。很好理解。当然要记得 ( exttt{pushdown}) .

特别注意：最后要 splay(x) 保证复杂度！！！

access(x),splay(x); int y=x;
while(ch[y][0]) pushdown(y),y=ch[y][0];
splay(x); return y;

（PS：这可能是LCT基本操作里最长的函数了……）
（PS：在没有 cut 操作的题目可能用并查集更简单）

2.4. LINK

( exttt{link(x,y)}) 即为连接两个节点。直接 ( exttt{makeroot(x)}) 后将 (x) 的父亲变为 (y) 即可。

makeroot(x),fa[x]=y;

2.5. SPLIT

不算是基本操作，但也很常用且简单。 ( exttt{split(x,y)}) 即为将 (x ightarrow y) 的一条路径拉出来。我们将 (x) 置为根后 ( exttt{access(y)}) 即可。再加上 ( exttt{splay(y)}) 即可直接操作 (y) ，(x) 即为 (y) 的左儿子。

makeroot(x),access(y),splay(y);

2.6. CUT

( exttt{cut(x,y)}) 即为断掉 (x ightarrow y) 的这条边。 ( exttt{split(x,y)}) 之后直接将 (fa[x]) 和 (ch[y][0]) 置为 (0) 即可。

split(x,y),fa[x]=ch[y][0]=0;

3. 辅助树

辅助树之前说过了，用splay来实现。接下来具体讲一讲 LCT 中的 splay 中的变化。

这里先直接贴代码：

#define isnrt(x) (ch[fa[x]][0]==x||ch[fa[x]][1]==x)
void pushdown(int x)
{
	if(rev[x])
	{
		rev[ch[x][0]]^=1,rev[ch[x][1]]^=1;
		swap(ch[x][0],ch[x][1]);
		rev[x]=0;
	}
}
void rotate(int x){
	int y=fa[x],z=fa[y];
	bool k=ch[y][0]==x; int w=ch[x][k];
	if(isnrt(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;ch[x][k]=y;ch[y][!k]=w;
	fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
}
void splay(int x)
{
	int y=x,tp=1; st[1]=y;
	while(isnrt(y)) st[++tp]=y=fa[y];
	while(tp) pushdown(st[tp--]);
	while(isnrt(x))
	{
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(isnrt(y)) (ch[z][1]==y)^(ch[y][1]==x)?rotate(x):rotate(y);
		rotate(x);
	}
}

变化很容易看出：当前辅助树的根需要特判（代码中用 ( exttt{isnrt(x)}) 来实现）。具体的不再解释了。同时注意 ( exttt{pushdown}) .

4. 模板

模板题：给你一棵树，每个节点上一个权值，支持加边删边，修改单点权值，查询路径 ( exttt{xor}) 和 .

代码：略。

关于 LCT 的具体用途和题目，在(2)中详细讲解。