Matlab优化工具箱学习

一直知道Matlab的优化工具箱，可是一直都没有学习，Matlab提供的功能主要有线性规划、非线性规划、极值问题等，这些也是比较常见的优化问题。

优化工具箱概述

1.MATLAB求解优化问题的主要函数

 

2.优化函数的输入变量

使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时, 输入变量见下表:

 

3. 优化函数的输出变量下表:

4．控制参数options的设置

Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:

(1)   Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’.

(2)   MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.

(3)  MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数

控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命令的格式如下：

(1) options=optimset(‘optimfun’)

   创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.

（2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...)

   创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.

(3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’,

            value2,...)

   创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.

例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8)

  该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为’iter’, TolFun参数设为1e-8.

 

用Matlab解无约束优化问题

一元函数无约束优化问题

常用格式如下：

（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)

（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)

（3）[x，fval]= fminbnd（...）

（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...）

（5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（...）

其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。

   函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。

例1 求在0<x<8中的最小值与最大值

主程序为wliti1.m:

        f='2*exp(-x).*sin(x)';

        fplot(f,[0,8]);         %作图语句

        [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)

        f1='-2*exp(-x).*sin(x)';

        [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)

运行结果：

          xmin = 3.9270        ymin = -0.0279

          xmax =  0.7854       ymax =  0.6448

 

例2  对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

 

 

 

先编写M文件fun0.m如下:

  function f=fun0(x)

  f=-(3-2*x).^2*x;

主程序为wliti2.m:

  [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);

  xmax=x

  fmax=-fval

运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.

2、多元函数无约束优化问题

标准型为：min F(X)

命令格式为:

（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）

（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；

     或x=fminsearch（fun,X0 ，options）

（3）[x，fval]= fminunc（...）；

     或[x，fval]= fminsearch（...）

（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；

     或[x，fval，exitflag]= fminsearch

（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；

     或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）

说明:

•    fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明：

[1] fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：

LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法

LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法

[2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由

    options中的参数HessUpdate控制：

HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；

HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式；

HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法

[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，    由options中参数LineSearchType控制：

LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；

LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插

•    使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.

例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)

1、编写M-文件 fun1.m:

    function f = fun1 (x)

    f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

 

 2、输入M文件wliti3.m如下:

       x0 = [-1, 1];

       x=fminunc(‘fun1’,x0);

       y=fun1(x)

3、运行结果:

       x=   0.5000     -1.0000

       y =   1.3029e-10

 

例4   Rosenbrock 函数 f（x1，x2）=100（x₂-x₁²）²+(1-x₁)²

      的最优解（极小）为x*=（1，1），极小值为f*=0.试用

      不同算法（搜索方向和步长搜索）求数值最优解.

          初值选为x0=（-1.2 , 2）.

 

1.为获得直观认识，先画出Rosenbrock  函数的三维图形,

  输入以下命令：

     [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);

     z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;

     mesh(x,y,z)

2. 画出Rosenbrock  函数的等高线图,输入命令：

     contour(x,y,z,20)

     hold on

     plot(-1.2,2,' o ');

     text(-1.2,2,'start point')

     plot(1,1,'o')

     text(1,1,'solution')

3.用fminsearch函数求解

输入命令:

   f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';

   [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f, [-1.2 2])

运行结果:

       x =1.0000    1.0000

fval =1.9151e-010

exitflag = 1

output =

             iterations: 108

             funcCount: 202

            algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'

 

4. 用fminunc 函数

(1)建立M-文件fun2.m

          function f=fun2(x)

          f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2

(2)主程序wliti44.m

Rosenbrock函数不同算法的计算结果

可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.

例5  产销量的最佳安排

    某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.

   符号说明

z(x₁,x₂)表示总利润；

p₁，q₁，x₁分别表示甲的价格、成本、销量；

p₂，q₂，x₂分别表示乙的价格、成本、销量；

    a_ij，b_i，λ_i,c_i（i，j =1，2）是待定系数.

基本假设

1．价格与销量成线性关系

利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本。按照市场规律，

甲的价格p₁会随其销量x₁的增长而降低，同时乙的销量x₂的增长也

会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，

即：   p₁ = b₁ - a₁₁ x₁ - a₁₂ x₂ ，b₁，a₁₁，a₁₂ > 0，且a₁₁ > a₁₂；

同理， p₂ = b₂ - a₂₁ x₁- a₂₂ x₂ ，b₂，a₂₁，a₂₂ > 0

2．成本与产量成负指数关系

甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为

负指数关系,即:

         

同理，   

模型建立

总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2

若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,

a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则

问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使

总利润z最大.

为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:

        z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2

的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,

我们把它作为原问题的初始值.

模型求解

1.建立M-文件fun.m: 

      function f = fun(x)

      y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);

      y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);

      f=-y1-y2;

2.输入命令:

      x0=[50,70];

      x=fminunc(‘fun’,x0),

      z=fun(x)

3.计算结果:

      x=23.9025, 62.4977,  z=6.4135e+003

  即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.

 

 二次规划

 

 

 

 

 

 

 

用MATLAB软件求解,其输入格式如下:

   1.      x=quadprog(H,C,A,b);

   2.      x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);

   3.      x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);

   4.      x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);

   5.      x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options);

   6.      [x,fval]=quaprog(...);

   7.      [x,fval,exitflag]=quaprog(...);

   8.      [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);

例1    min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22

         s.t.   x1+x2≤2

                -x1+2x2≤2

                x1≥0, x2≥0

1、写成标准形式：

 

2、 输入命令：

     H=[1 -1; -1 2];

      c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];

      Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];

      [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

3、运算结果为：

     x =0.6667  1.3333   z = -8.2222

 

一般非线性规划

标准型为：

　　　min F(X)

        s.t AX<=b       G(X)

            Ceq(X)=0    VLBXVUB

其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：

1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:

function f=fun(X);

f=F(X);

2. 若约束条件中有非线性约束:G(X)或Ceq(X)=0,则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X):

function [G,Ceq]=nonlcon(X)

G=...

Ceq=...

3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下：

       (1)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

   (2)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

   (3)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)

         (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)

(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)  

              (6) [x,fval]= fmincon(...)

      (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...)

  (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)

注意：

 

[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。

[2] fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。

[3] fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。

例2

s.t.

 

2、先建立M-文件 fun3.m:

    function f=fun3(x);

    f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2

3、再建立主程序youh2.m：

        x0=[1;1];

     A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5];

     Aeq=[];beq=[];

     VLB=[0;0]; VUB=[];

   [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

4、运算结果为：

   x = 0.7647       1.0588

   fval =   -2.0294

 

 

例3

 

 

1．先建立M文件 fun4.m,定义目标函数:

      function f=fun4(x);  

      f=exp(x(1))

       *(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

2．再建立M文件mycon.m定义非线性约束：

      function [g,ceq]=mycon(x)

      g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];

3．主程序youh3.m为:

x0=[-1;1];

A=[];b=[];

Aeq=[1 1];beq=[0];

vlb=[];vub=[];

[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')

3. 运算结果为：

       x = -1.2250    1.2250

       fval = 1.8951

例4．资金使用问题

设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得效益万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.

设变量表示第i年所使用的资金数,则有

     

 

 

 

1．先建立M文件 fun44.m,定义目标函数:

       function f=fun44(x)

       f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));

2．再建立M文件mycon1.m定义非线性约束：

      function [g,ceq]=mycon1(x)

      g(1)=x(1)-400;

g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;

g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;

g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;

ceq=0

3．主程序youh4.m为:

x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];

[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')

得到

     

线性规划问题

线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0 解决的线性规划问题的标准形式为：

min f(x)

sub.to：

          x A ≤b ⋅  x Aeq = beq⋅ ub≤ x≤ lb 

其中 f、x、b、beq、lb、ub 为向量，A、Aeq 为矩阵。 其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)      %设置初值 x0

“半无限”有约束的多元函数最优解

x  =  fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
[x,fval] = fseminf(⋯)
[x,fval,exitflag] = fseminf(⋯)
[x,fval,exitflag,output] = fseminf(⋯)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fseminf(⋯)

极小化极大问题

例子：

最小二乘最优问题

约束线性最小二乘

非线性数据拟合

非线性最小二乘

非负线性最小二乘

 

非线性方程的解

非线性方程的标准形式为 f(x)=0
函数    fzero
格式    x  =  fzero  (fun,x0)      %用 fun 定义表达式 f(x)，x0 为初始解。
x = fzero (fun,x0,options)
[x,fval] = fzero(⋯)          %fval=f(x)
[x,fval,exitflag] = fzero(⋯)

[x,fval,exitflag,output] = fzero(⋯)
说明    该函数采用数值解求方程 f(x)=0 的根。

非线性方程组的解

非线性方程组的标准形式为：F(x) = 0
其中：x 为向量，F(x)为函数向量。
函数    fsolve
格式    x  =  fsolve(fun,x0)      %用 fun  定义向量函数，其定义方式为：先定义方程函数
function F = myfun (x)。
F =[表达式 1；表达式 2；⋯表达式 m]      %保存为 myfun.m，并用下面方式调用：
x = fsolve(@myfun,x0)，x0 为初始估计值。
x = fsolve(fun,x0,options)
[x,fval] = fsolve(⋯)          %fval=F(x)，即函数值向量
[x,fval,exitflag] = fsolve(⋯)
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(⋯)
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(⋯)      %  jacobian 为解 x 处的 Jacobian 阵。