辗转相除法 --- 求出两个整数的最大公约数

辗转相除法， 又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

这条算法基于一个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25，25除以10商2余5,那么10和25的最大公约数，等同于10和5的最大公约数。

有了这条定理，求出最大公约数就简单了。我们可以使用递归的方法来把问题逐步简化。

首先，我们先计算出a除以b的余数c，把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出b除以c的余数d，把问题转化成求出c和d的最大公约数；再然后计算出c除以d的余数e，把问题转化成求出d和e的最大公约数......

以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中一个数减小到1为止。

当两个整型数较大时，做a%b取模运算的性能会比较低。

更相减损术，出自于中国古代的《九章算术》，也是一种求最大公约数的算法。

他的原理更加简单：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。比如10和25，25减去10的差是15,那么10和25的最大公约数，等同于10和15的最大公约数。

由此，我们同样可以通过递归来简化问题。首先，我们先计算出a和b的差值c（假设a>b），把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出c和b的差值d（假设c>b），把问题转化成求出b和d的最大公约数；再然后计算出b和d的差值e（假设b>d），把问题转化成求出d和e的最大公约数......

以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的两个数。

 

 

众所周知，移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数：

当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

 

当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。

 

比如计算10和25的最大公约数的步骤如下：

 

1. 整数10通过移位，可以转换成求5和25的最大公约数

2. 利用更相减损法，计算出25-5=20，转换成求5和20的最大公约数

3. 整数20通过移位，可以转换成求5和10的最大公约数

4. 整数10通过移位，可以转换成求5和5的最大公约数

5. 利用更相减损法，因为两数相等，所以最大公约数是5

 

 

最后总结一下上述所有解法的时间复杂度：

1.暴力枚举法：时间复杂度是O(min(a, b)))

2.辗转相除法：时间复杂度不太好计算，可以近似为O(log(max(a, b)))，但是取模运算性能较差。

3.更相减损术：避免了取模运算，但是算法性能不稳定，最坏时间复杂度为O(max(a, b)))

4.更相减损术与移位结合：不但避免了取模运算，而且算法性能稳定，时间复杂度为O(log(max(a, b)))