[LeetCode] Gas Station，转化为求最大序列的解法，和更简单简单的Jump解法。

LeetCode上 Gas Station是比较经典的一题，它的魅力在于算法足够优秀的情况下，代码可以简化到非常简洁的程度。

原题如下

Gas Station

There are N gas stations along a circular route, where the amount of gas at station i is gas[i].

You have a car with an unlimited gas tank and it costs cost[i] of gas to travel from station i to its next station (i+1). You begin the journey with an empty tank at one of the gas stations.

Return the starting gas station's index if you can travel around the circuit once, otherwise return -1.

Note:
The solution is guaranteed to be unique.

class Solution {
public:
    int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost) {
    }
};

最直观的思路

最直观的解法自然是O(n²) 时间复杂度的挨个尝试。这里不做讨论。

思路变化一

如果你是司机，你肯定会选这么样的一个站点：从这个站点出发，先遇到的站点都是给车加油大于耗油的，从而让车攒够足够的余油，来撑过剩下的那些耗油大于加油的站点。

对于站点 i，我们把 gas[i] - cost[i] 当作整体考虑，我们用diff[i] = gas[i] - cost[i] 表示从当前站点出发，到下一个站点后剩余的油量。

因此结合司机的经验，题目就是需要找出这么一个点，从这个点出发，diff的累加值能达到峰值。

想起了什么吗？这道题就是求diff[]数组上的 和最大连续子序列，这个最大子序列的起始点就是车的出发点！如果车从这儿开都不能做到油箱不空，那么这个题目就该返回-1了。

因此，这道题转化成了 求循环数组的最大子序列问题。

这种问题的求法，主要就是利用动态规划，求出diff[0] 到 diff[size-1]这个非循环数组上的最大子序列MAX和最小子序列MIN。然后比较MAX和 Total - MIN，选出较大值(Total为 diff数组所有元素和)。当然，我们要求的不是最大子序列的和，而是最大子序列的其实位置。因此，如果MAX 较大，返回MAX所代表的最大子序列的起始元素；否则，返回MIN所代表的最小子序列末尾的下一个元素。

参照这种思路，我们可以写出如下代码：

class Solution {
public:
    int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost) {
        if(gas.size() != cost.size()) return -1;
        if(gas.size() == 0) return -1;
        int MAX = gas[0] - cost[0], MIN = gas[0] - cost[0], max = gas[0] - cost[0], min = gas[0] - cost[0];
        int stmax = 0, stMAX = 0, endMIN = 0;
        int total = 0, diff = 0;
        for(int i = 0; i < gas.size(); ++i){
            diff = gas[i] - cost[i];
            total += diff;
            
            if(max < 0){
                max = diff;
                stmax = i; //stmax用来存储当前序列的起始点
            }else max += diff;
            if(max > MAX){
                MAX = max;
                stMAX = stmax; //stmax用来存储最大序列的起始点
            }
            
            if(min > 0) min = diff;
            else min += diff;
            if(min < MIN){
                MIN = min;
                endMIN = i; //endMIN用来存储最小序列的末尾点
            }
        }
        return total < 0 ? -1 : (MAX >= (total - MIN) ? stMAX : (endMIN+1) % gas.size()); //通过比较 MAX 和 (total - MIN) 返回相应结果。
    }
};

这样的解法的时间复杂度是 O(N)

在末尾可以发现，最后我们在通过比较 MAX 和 (total - MIN) 得出结果后，并没有模拟让车从所得站点跑一圈，来验证是否正确，而是直接通过比较 total 和 0的关系来确定是否有解。

如果Total >= 0，那么直接返回站点，如果Total < 0，返回-1。

也就是说，直接通过Total的值就可以来确定该题是否有解。

思路变化二

这道题最直观的思路，是逐个尝试每一个站点，从站 i 点出发，看看是否能走完全程。如果不行，就接着试着从站点 i+1出发。

假设从站点 i 出发，到达站点 k 之前，依然能保证油箱里油没见底儿，从k 出发后，见底儿了。那么就说明 diff[i] + diff[i+1] + ... + diff[k] < 0，而除掉diff[k]以外，从diff[i]开始的累加都是 >= 0的。也就是说diff[i] 也是 >= 0的，这个时候我们还有必要从站点 i + 1 尝试吗？仔细一想就知道：车要是从站点 i+1出发，到达站点k后，甚至还没到站点k，油箱就见底儿了，因为少加了站点 i 的油。。。

因此，当我们发现到达k 站点邮箱见底儿后，i 到 k 这些站点都不用作为出发点来试验了，肯定不满足条件，只需要从k+1站点尝试即可！因此解法时间复杂度从O(n²)降到了 O(2n)。之所以是O(2n)，是因为将k+1站作为始发站，车得绕圈开回k，来验证k+1是否满足。

等等，真的需要这样吗？

我们模拟一下过程：

a. 最开始，站点0是始发站，假设车开出站点p后，油箱空了，假设sum1 = diff[0] +diff[1] + ... + diff[p]，可知sum1 < 0；

b. 根据上面的论述，我们将p+1作为始发站，开出q站后，油箱又空了，设sum2 = diff[p+1] +diff[p+2] + ... + diff[q]，可知sum2 < 0。

c. 将q+1作为始发站，假设一直开到了未循环的最末站，油箱没见底儿，设sum3 = diff[q+1] +diff[q+2] + ... + diff[size-1]，可知sum3 >= 0。

要想知道车能否开回 q 站，其实就是在sum3 的基础上，依次加上 diff[0] 到 diff[q]，看看sum3在这个过程中是否会小于0。但是我们之前已经知道 diff[0] 到 diff[p-1] 这段路，油箱能一直保持非负，因此我们只要算算sum3 + sum1是否 <0，就知道能不能开到 p+1站了。如果能从p+1站开出，只要算算sum3 + sum1 + sum2 是否 < 0，就知都能不能开回q站了。

因为 sum1, sum2 都 < 0，因此如果 sum3 + sum1 + sum2 >=0 那么 sum3 + sum1 必然 >= 0，也就是说，只要sum3 + sum1 + sum2 >=0，车必然能开回q站。而sum3 + sum1 + sum2 其实就是 diff数组的总和 Total，遍历完所有元素已经算出来了。因此 Total 能否 >= 0，就是是否存在这样的站点的 充分必要条件。

这样时间复杂度进一步从O(2n)降到了 O(n)。

基于这个思路，可以写出更加简洁的代码：

class Solution {
public:
    int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost) {
        if(gas.size() == 0 || cost.size() == 0 || gas.size() != cost.size()) return -1;
        int total = 0, sum = 0, start = 0;
        for(int i = 0; i < gas.size(); ++i){
            total += (gas[i] - cost[i]);
            if(sum < 0){ //发现油箱空了，从下一个站点尝试
                sum = (gas[i] - cost[i]);
                start = i;
            }else
                sum += (gas[i] - cost[i]);
        }
        return total < 0 ? -1 : start; //用total判断start 是否是满足要求的解
    }
};

这种解法其实依托于一个数学命题：

对于一个循环数组，如果这个数组整体和 SUM >= 0，那么必然可以在数组中找到这么一个元素：从这个数组元素出发，绕数组一圈，能保证累加和一直是出于非负状态。

我在这里给出比较简单的证明，来证明这个命题为真：用反证法，假设数组A[]的和SUM >= 0，对于所有元素都不能做到累加和能保持非负。我们取任意元素，下标为p，假设累加至下标为q-1时，累加和还能保持非负，但是加上A[q]后，累加和成了负数。那么就是 A[p] + .. + A[q] < 0 (1)；  A[p] + .. + A[k] >= 0 (p <= k <= q-1) (2)。

又因为SUM >= 0，因此A[q+1] + ... A[p-1] = SUM - (A[p] + .. + A[q]) > 0，也就是说，从q+1开始，能保证 A[q+1] + ... A[p-1] > 0 (3)。既然A[q+1] + ... A[p-1] > 0，那么联合结论(2)，A[q+1] + ... A[p-1] + A[p] + .. + A[k] 也是正数，也就是说，从A[q+1]出发，能保证到达A[p], A[p+1].... , A[q-1] 时累加和都是非负数；到达A[q]时呢？正好绕一圈，累加和就是SUM，因此此时累加和也是非负数。

那么，至此，我们可以保证从A[q+1] 出发，到达A[p], A[p+1].... , A[q] 时累加和都是非负数。剩余部分的部分是A[q+2], A[q+3]... A[p-1]，只要继续证明到达这些元素时，累加和是非负即可。由于结论(3)，我们已经知道 A[q+1] + ... A[p-1] > 0，因此这道题就是证明总和 >0 时，A[q+1] 到达 A[q+2] 至  A[p-1]中的任意元素，其和都依然大于等于0。

之前用模拟的方式，大概给出了直观的推衍，但是暂时没能给出严格的数学证明(无视那段被我划掉的部分吧。。)。