矩阵乘法的MPI并行计算

1、问题描述

矩阵乘法问题描述如下：

　　给定矩阵A和B，其中A是m*p大小矩阵，B是p*n大小的矩阵。求C = A*B。

求解这个问题最简单的算法是遍历A的行和B的列，求得C的相应元素，时间复杂度O(mnp)，空间复杂度O(1)。

// 矩阵乘法的C++实现
for(int i=0; i<m; i++){
    for(int j=0; j<n; j++){
        float temp = 0.0;
        for(int k=0; k<p; k++){
            temp += A[i*p + k] * B[k*n + j];
        }
        C[i*n + j] = temp;
    }
}

2、最简单的并行方案

要改进上述算法为并行算法，需要了解到C++ MPI编程的特点：

　　a. 各个进程之间不能有依赖。这是因为各个进程可以以任意的时间顺序执行。

　　b. 数据是分布式存储的。也就是说，每个进程有自己独立的数据备份。

有了这两点认识后，一种最简单的并行方案就出来了：（假设开启np个进程）

　　(1). 首先将矩阵A和C按行分为np块；

　　(2). 进程号为 id 的进程读取A的第 id 个分块和B；

　　(3). 进程号为 id 的进程求解相应的C的第 id 个分块。

代码如下：

/* filename: matMultiplyWithMPI.cpp
 * parallel matrix multiplication with MPI
 * C(m,n) = A(m,p) * B(p,n)
 * input: three parameters - m, p, n
 * @copyright: fengfu-chris
 */
#include<iostream>
#include<mpi.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>

void initMatrixWithRV(float *A, int rows, int cols);
void matMultiplyWithSingleThread(float *A, float *B, float *matResult, int m, int p, int n);

int main(int argc, char** argv)
{
    int m = atoi(argv[1]);
    int p = atoi(argv[2]);
    int n = atoi(argv[3]);
    
    float *A, *B, *C;
    float *bA, *bC;  

    int myrank, numprocs;

    MPI_Status status;
  
    MPI_Init(&argc, &argv);  // 并行开始
    MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &numprocs); 
    MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &myrank); 
    
    int bm = m / numprocs;

    bA = new float[bm * p];
    B  = new float[p * n];
    bC = new float[bm * n];

    if(myrank == 0){
        A = new float[m * p];
        C = new float[m * n];
        
        initMatrixWithRV(A, m, p);
        initMatrixWithRV(B, p, n);
    }
    MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);

　　/* step 1: 数据分配 */
    MPI_Scatter(A, bm * p, MPI_FLOAT, bA, bm *p, MPI_FLOAT, 0, MPI_COMM_WORLD);
    MPI_Bcast(B, p * n, MPI_FLOAT, 0, MPI_COMM_WORLD);

　　/* step 2: 并行计算C的各个分块 */
    matMultiplyWithSingleThread(bA, B, bC, bm, p, n);
    
    MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);
    
　　/* step 3: 汇总结果 */
    MPI_Gather(bC, bm * n, MPI_FLOAT, C, bm * n, MPI_FLOAT, 0, MPI_COMM_WORLD);
  
　　/* step 3-1: 解决历史遗留问题（多余的分块） */
    int remainRowsStartId = bm * numprocs;
    if(myrank == 0 && remainRowsStartId < m){
        int remainRows = m - remainRowsStartId;
        matMultiplyWithSingleThread(A + remainRowsStartId * p, B, C + remainRowsStartId * n, remainRows, p, n);
    }
  
    delete[] bA;
    delete[] B;
    delete[] bC;
    
    if(myrank == 0){
        delete[] A;
        delete[] C;
    }
    
    MPI_Finalize(); // 并行结束

    return 0;
}

void initMatrixWithRV(float *A, int rows, int cols)
{
    srand((unsigned)time(NULL));
    for(int i = 0; i < rows*cols; i++){
        A[i] = (float)rand() / RAND_MAX;
    }
}
void matMultiplyWithSingleThread(float *A, float *B, float *matResult, int m, int p, int n)
{
    for(int i=0; i<m; i++){
        for(int j=0; j<n; j++){
            float temp = 0;
            for(int k=0; k<p; k++){
                temp += A[i*p+k] * B[k*n + j];
            }
            matResult[i*n+j] = temp;
        }
    }
}

编译：

$mpigxx matMultiplyWithMPI.cpp -o matMultiplyWithMPI

运行：

$mpirun -np 8 matMultiplyWithMPI 3000 2000 4000

这里假设m = 3000， p = 2000， n = 4000。另外，开启的进程数为8个。 np的个数可以大于CPU的个数。

一般来讲，只有当矩阵大小大于5000的量级时，开启几十上百个进程的威力才能凸显出来。尤其是当矩阵量级达到万维以上时，串行或是少数几个进程并行的矩阵乘法将变得特别耗时。

3、改进的并行方案：内存考虑

上面的并行方案有个很大的缺陷，那就是 B 的备份数和开启的进程数一致。这对于内存不是很充裕或矩阵很大的时候，会导致灾难！例如，假设 B 是10000*10000维的，用double类型存储大概占700M左右的内存。当开启的进程数达到128个时，单是 B 的备份占据的内存开销将达到 128 * 700 M = 90G。 这将耗掉巨大的内存！

有什么改进的方案呢？

必须了解MPI的第三个特点：

　　c. 进程之间可以很方便地通信，并且支持多种通信方案。

这样，就可以把 B 也同时分布式的存储到各个进程对应的内存中，然后利用进程之间的通信来轮换各个 B 的分块，从而达到减小内存开销的效果。当然，几乎和所有的程序一样，离不开时间与空间的trade-off。所以，这种方法虽然节省了内存，却要消耗大量的时间在进程之间的通信上。

下面给出改进的并行方案：

　　(1). 将A和C按行分为np块，将B按列分为np块（B可以按列存储）；

　　(2). 进程号为 id 的进程读取 A 和 B 的第id个分块；

　　(3). 循环np次：

　　　　<1>. 各个进程用各自的A、B分块求解C的分块；

　　　　<2>. 轮换B的分块（例如：id 号进程发送自己当前的B的分块到 id+1号进程）

代码如下：

/* filename: matMultiplyWithMPI_updated.cpp
 * parallel matrix multiplication with MPI: updated
 * C(m,n) = A(m,p) * B(p,n)
 * input: three parameters - m, p, n
 * @copyright: fengfu-chris
 */
#include<iostream>
#include<mpi.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>

void initMatrixWithRV(float *A, int rows, int cols);
void copyMatrix(float *A, float *A_copy, int rows, int cols);
// A: m*p, B: p*n  ！！！ note that B is stored by column first
void matMultiplyWithTransposedB(float *A, float *B, float *matResult, int m, int n, int p);

int main(int argc, char** argv)
{
　 int m = atoi(argv[1]);
　 int n = atoi(argv[2]);
　 int p = atoi(argv[3]);
    
   float *A, *B, *C;
   float *bA, *bB_send, *bB_recv, *bC, *bC_send;
　 int myrank, numprocs;

    MPI_Status status;
  
    MPI_Init(&argc, &argv);  // 并行开始
    MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &numprocs); 
    MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &myrank); 
 　　
　  int bm = m / numprocs;
    int bn = n / numprocs;

    bA = new float[bm * p];
    bB_send = new float[bn * p];
    bB_recv = new float[bn * p];
    bC = new float[bm * bn];
    bC_send = new float[bm * n];
    
    if(myrank == 0){
        A = new float[m * p];
        B = new float[n * p];
        C = new float[m * n];
        
        initMatrixWithRV(A, m, p);
        initMatrixWithRV(B, n, p);
    }

    MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);
    MPI_Scatter(A, bm * p, MPI_FLOAT, bA, bm * p, MPI_FLOAT, 0, MPI_COMM_WORLD);
    MPI_Scatter(B, bn * p, MPI_FLOAT, bB_recv, bn * p, MPI_FLOAT, 0, MPI_COMM_WORLD);

    int sendTo = (myrank + 1) % numprocs;
    int recvFrom = (myrank - 1 + numprocs) % numprocs;
        
    int circle = 0;  
    do{
        matMultiplyWithTransposedB(bA, bB_recv, bC, bm, bn, p);
        int blocks_col = (myrank - circle + numprocs) % numprocs;
        for(int i=0; i<bm; i++){
            for(int j=0; j<bn; j++){
                bC_send[i*n + blocks_col*bn + j] = bC[i*bn + j];
            }
        }

        if(myrank % 2 == 0){
            copyMatrix(bB_recv, bB_send, bn, p);
            MPI_Ssend(bB_send, bn*p, MPI_FLOAT, sendTo, circle, MPI_COMM_WORLD);
            MPI_Recv(bB_recv, bn*p, MPI_FLOAT, recvFrom, circle, MPI_COMM_WORLD, &status);
        }else{
            MPI_Recv(bB_recv, bn*p, MPI_FLOAT, recvFrom, circle, MPI_COMM_WORLD, &status); 
            MPI_Ssend(bB_send, bn*p, MPI_FLOAT, sendTo, circle, MPI_COMM_WORLD);
            copyMatrix(bB_recv, bB_send, bn, p);    
        }
        
        circle++;
    }while(circle < numprocs);

　 MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);
    MPI_Gather(bC_send, bm * n, MPI_FLOAT, C, bm * n, MPI_FLOAT, 0, MPI_COMM_WORLD);
    
    if(myrank == 0){
        int remainAStartId = bm * numprocs;
        int remainBStartId = bn * numprocs;
        
        for(int i=remainAStartId; i<m; i++){
            for(int j=0; j<n; j++){
                float temp=0;
                for(int k=0; k<p; k++){
                    temp += A[i*p + k] * B[j*p +k];
                }
                C[i*p + j] = temp;
            }
        }
        
        for(int i=0; i<remainAStartId; i++){
            for(int j=remainBStartId; j<n; j++){
                float temp = 0;
                for(int k=0; k<p; k++){
                    temp += A[i*p + k] * B[j*p +k];
                }
                C[i*p + j] = temp;
            }
        }
    }
    
    delete[] bA;
    delete[] bB_send;
    delete[] bB_recv;
    delete[] bC;
    delete[] bC_send;
    
    if(myrank == 0){
        delete[] A;
        delete[] B;
        delete[] C;
    }
    
    MPI_Finalize(); // 并行结束

    return 0;
}

void initMatrixWithRV(float *A, int rows, int cols)
{
    srand((unsigned)time(NULL));
    for(int i = 0; i < rows*cols; i++){
        A[i] = (float)rand() / RAND_MAX;
    }
}
void copyMatrix(float *A, float *A_copy, int rows, int cols)
{
    for(int i=0; i<rows*cols; i++){
        A_copy[i] = A[i];
    }
}

void matMultiplyWithTransposedB(float *A, float *B, float *matResult, int m, int p, int n)
{
    for(int i=0; i<m; i++){
        for(int j=0; j<n; j++){
            float temp = 0;
            for(int k=0; k<p; k++){
                temp += A[i*p+k] * B[j*p+k];
            }
            matResult[i*n+j] = temp;
        }
    }
}

这里最需要注意的地方就是B的轮换。 有两点需要注意：

   (1) 防阻塞机制。这里采用奇偶原则：偶数号进程先发送，再接收；奇数号进程则相反。这样可以避免所有进程同时发送造成死锁的情况；

　(2) 数据备份。发送和接收的信息存储在不同的矩阵中，这样保证原来的信息不会被覆盖。

这种方法的优点是显而易见的。对于足够牛的服务器/计算机集群，开启成百上千个进程来并行完全不是问题。

并行不易，且行且珍惜！