最近遇到要求解此类差分方程的问题，查阅了相关资料，进行了完善并记录下来
求一阶常系数齐次线性差分方程的通解
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为 (y_{n+1}-ay_n=0,(a eq 0))
迭代法
给定初始值为 (y_0) ，则 (y_1=ay_0, y_2=ay_1=a^2y_0, y_3=ay_2=a(a^2y_0)=a^3y_0, dots , y_n=a^ny_0)
其中初始值 (y_0) 为常数，令 (y_0=C) ， 则通解可表示为 (Y_n=Ca^n)
当存在某一个 (y_x) 已知时，将其代入通解，可以求得 (C)
特征根法
将原方程变形 (y_{n+1}-ay_n=0,(a eq 0) iff y_{n+1}-y_n+(1-a)y_n=0 iff Delta y_n+(1-a)y_n=0,(a eq 0))
根据 (Delta lambda^n=(lambda-1)^n) 可以看出 (y_n) 的形式一定为某一指数函数
设 (y_n=lambda^n(lambda eq 0)) ，代入原方程得 (lambda^{n+1}-alambda^n=0) ，即 (lambda-a=0 iff lambda=a)
于是 (y_n=a^n) 是原方程的一个解，从而 (y_n=Ca^n) 是原方程的通解
举例
【例1】求 (y_{n+1}-y_n=0) 的通解
【解】特征方程为 (lambda-1=0) ，解得特征根为 (lambda=1) ，所以原方程的通解为 (Y_n=C)
【例2】求 (y_{n+1}-2y_n=0) 的通解
【解】特征方程为 (lambda-2=0) ，解得特征根为 (lambda=2) ，所以原方程的通解为 (Y_n=Ccdot2^n)
【例3】已知 (y_0=1) ，求 (y_{n+1}+y_n=0) 的通解
【解】特征方程为 (lambda+1=0) ，解得特征根为 (lambda=-1) ，所以原方程的通解为 (Y_n=C(-1)^n)
将 (y_0=1) 代入，得到 (1=C(-1)^0 iff C=1) ，所以原方程的通解为 (Y_n=(-1)^n)
求一阶常系数非齐次线性差分方程的通解
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式为 (y_{n+1}-ay_n=f(n),(a eq 0))
当 (f(n)=0) 时，方程为 (y_{n+1}-ay_n=0) ，称它为原方程对应的齐次方程
一阶常系数非齐次线性差分方程的通解为对应的齐次方程通解 (Y_n) 与原方程的特解 (y^*_n) 之和，即 (y_n=Y_n+y^*_n)
当 (f(n)) 为某些特殊类型的函数时，采用待定系数法求其特解 (y^*_n) 较为方便
右端函数为m阶多项式类型
原方程变形为 (Delta y_n+(1-a)y_n=f(n),(a eq 0))
由于 (f(n)) 为多项式，因此 (y^*_n) 也应该是多项式
当 (a eq1) 时，令 (y^*_n= heta_0 n^m+ heta_1 n^{m-1}+dots+ heta_m)
当 (a=1) 时，令 (y^*_n=n( heta_0 n^m+ heta_1 n^{m-1}+dots+ heta_m))
举例
【例1】求 (y_{n+1}-y_n=n^2) 的通解
【解】对应的齐次方程为 (y_{n+1}-y_n=0) ，特征方程为 (lambda-1=0) ，特征根为 (lambda=1) ，齐次方程的通解为 (Y_n=C)
设原方程的特结为 (y^*_n=an^3+bn^2+cn) ，代入原方程得 (a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)-an^3-bn^2-cn=n^2)
原方程要恒成立，用待定系数法得到 (a=frac{1}{3}, b=frac{1}{2}, c=frac{1}{6})
所以原方程的通解为 (y_n=frac{1}{3}n^3+frac{1}{2}n^2+frac{1}{6}n+C)
右端函数为指数函数与m阶多项式相乘
设原方程为 (y_{n+1}-ay_n=mu^nP_m(n),(a eq 0))
当 (mu=0,1) 时，属于上面一种情况
当 (mu eq 0,1) 时，设 (y_n=mu^n cdot z_n)
代入原方程得 (mu^{n+1}z{n+1}-amu^nz_n=mu^nP_m(n))
消去 (mu^n) ，得 (mu z_{n+1}-az_n=P_m(n)) ，就成为了上面一种类型，于是 (y^*_n=mu^n cdot z^*_n)