一道趣味算术题

 题目地址：http://club.excelhome.net/thread-175411-1-1.html

先看几个数：312132,231213,41312432,23421314  
   
  可以看到以上字串有以下特点：   2个1   之间有1个数，2个2   之间有2个数，2个3之间有3个数...  
  试找出由(1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8)   16个数组成的字符串满足上述条件的所有组合,即2个1   之间有1个数，2个2   之间有2个数，2个3之间有3个数...2个8之间有8个数.

  1,1,2,2,3,3,...N,N共2N个数排成一行,2个1   之间有1个数，2个2   之间有2个数，...2个N之间有N个数...  
   
  设   1   放在A(1)   ,A(1)   +   2      
        2   放在A(2)   ,A(2)   +   3      
        3   放在A(3)   ,A(3)   +   4      
        ....      
        N   放在A(N)   ,A(N)+N+1    
   
  则A(1),   A(1)+2,   A(2),   A(2)+3,...,A(N)   +   N   +   1   为1,2,3,4,..2N的一个全排列  
   
  故   1   +   2   +   3   +   ...   +   2N   =   2[A(1)   +   A(2)   +   ...   +   A(N)]   +   [2   +   3   +   ...   +   (N+1)]  
   
  2N(2N+1)/2   =   2[A(1)   +   A(2)   +   ...   +   A(N)]   +   (N+1)(N+2)/2   -   1  
   
  4[A(1)   +   A(2)   +   ...   +   A(N)]   =   2N(2N+1)   -   (N+1)(N+2)   +   2  
   
   
  A(1)   +   A(2)   +   ...   +   A(N)   =   N(3N-1)/4  
   
   
  所以   N   只能是   4K,4K+3   的形式.  
   
  N=1,2,5,6,9时无解  
  N=3:       312132,231213  
  N=4:       41312432,23421314  
  N=7;       52个解  
  N=8:       300个解  

方法1（qee用 提供）

1.   Private   Max   As   Long,   mycount   As   Long   
2.   Private   Sub   Command1_Click()   
3.           Dim   W()             '每位的数字   
4.           Dim   Num(1   To   8)   As   Boolean     '标识数字使用否   
5.             
6.           Dim   p   As   Long       '指针作用   
7.           Dim   FillLeft   As   Long         '填数剩余名额   
8.             
9.           For   Max   =   6   To   16   Step   2   
10.                   ReDim   W(1   To   Max)   
11.                   FillLeft   =   Max   /   2   
12.                   p   =   1   
13.                   Call   Body(W,   Num,   p,   FillLeft)   
14.                   Erase   W   
15.           Next   
16.   End   Sub   
17.     
18.   Private   Sub   Body(ByRef   W(),   ByRef   Num()   As   Boolean,   _   
19.                           ByRef   p   As   Long,   ByRef   FillLeft   As   Long)   
20.           Dim   t   As   Long   
21.           '往前移到空位   
22.           Call   MoveP(W,   p)   
23.           '该位最大可能的值   
24.           t   =   Max   -   p   -   1   
25.           If   t   >   8   Then   t   =   8   
26.     
27.           Do   
28.                   '跳过已经使用过的值   
29.                   t   =   GetMaxUnuse(Num,   t)   
30.                   If   t   >   0   Then   
31.                           '尝试成对插入   
32.                           If   BeTwins(Num,   W,   t,   p)   =   True   Then   
33.                                   FillLeft   =   FillLeft   -   1   
34.                                   If   FillLeft   =   0   Then   
35.                                           '显示结果   
36.                                           If   UBound(W)   =   16   Then   
37.                                           mycount   =   mycount   +   1   
38.                                           Call   ShowResult(W)   
39.                                           End   If   
40.                                   Else   
41.                                           '递归调用   
42.                                           Call   Body(W,   Num,   p,   FillLeft)   
43.                                   End   If   
44.                                   '成对弹出   
45.                                   Do   While   BackTwins(Num,   W,   p)   =   False   
46.                                           p   =   p   -   1   
47.                                   Loop   
48.                                   FillLeft   =   FillLeft   +   1   
49.                                     
50.                           End   If   
51.                           t   =   t   -   1   
52.                   End   If   
53.           Loop   Until   t   =   0   
54.             
55.   End   Sub   
56.     
57.   Private   Sub   MoveP(ByRef   W(),   ByRef   p   As   Long)   
58.           Do   While   W(p)   >   0   
59.                   p   =   p   +   1   
60.           Loop   
61.   End   Sub   
62.     
63.   Private   Function   GetMaxUnuse(ByRef   Num()   As   Boolean,   ByVal   MaxNum   As   Long)   As   Long   
64.           Dim   t   As   Long   
65.           For   t   =   MaxNum   To   1   Step   -1   
66.                   If   Num(t)   =   False   Then   
67.                           GetMaxUnuse   =   t   
68.                           Exit   For   
69.                   End   If   
70.           Next   
71.   End   Function   
72.     
73.   Private   Function   BeTwins(ByRef   Num()   As   Boolean,   ByRef   W(),   _   
74.                                   ByVal   Number   As   Long,   ByVal   p   As   Long)   As   Boolean   
75.           Dim   pMir   As   Long   
76.           BeTwins   =   False   
77.           '数字已经用过   
78.           If   Num(Number)   =   True   Then   Exit   Function   
79.           '此位已经有数字   
80.           If   W(p)   >   0   Then   Exit   Function   
81.           '计算对应位置   
82.           pMir   =   p   +   Number   +   1   
83.           '对应位置超出范围   
84.           If   pMir   >   Max   Then   Exit   Function   
85.           '对应位置已经有数字   
86.           If   W(pMir)   >   0   Then   Exit   Function   
87.           '一切正常   
88.           Num(Number)   =   True   
89.           W(p)   =   Number   
90.           W(pMir)   =   Number   
91.           BeTwins   =   True   
92.   End   Function   
93.     
94.   Private   Function   BackTwins(ByRef   Num()   As   Boolean,   ByRef   W(),   _   
95.                                   ByVal   p   As   Long)   As   Boolean   
96.           Dim   pMir   As   Long   
97.           BackTwins   =   False   
98.           '此位没有数字   
99.           If   W(p)   =   0   Then   Exit   Function   
100.           '计算对应位置   
101.           pMir   =   p   +   W(p)   +   1   
102.           '对应位置超出范围   
103.           If   pMir   >   Max   Then   Exit   Function   
104.           '对应位置没有数字，或数字不一致   
105.           If   W(pMir)   =   0   Then   Exit   Function   
106.           If   W(pMir)   <>   W(p)   Then   Exit   Function   
107.           '一切正常   
108.           Num(W(p))   =   False   
109.           W(p)   =   0   
110.           W(pMir)   =   0   
111.           BackTwins   =   True   
112.   End   Function   
113.     
114.   Private   Sub   ShowResult(ByRef   W())   
115.   Debug.Print   mycount   &   vbTab   &   Join(W,   "")   
116.   End   Sub   
117.     

n=7   时,有52个解:  
  1       74151643752362  
  2       73625324765141  
  3       73161345726425  
  4       72632453764151  
  5       72462354736151  
  6       72452634753161  
  7       71416354732652  
  8       71316435724625  
  9       62742356437151  
  10     61517346532472  
  11     57416154372632  
  12     57263254376141  
  13     57236253471614  
  14     57141653472362  
  15     56171354632742  
  16     53672352461714  
  17     53647352462171  
  18     52732653417164  
  19     52642753461317  
  20     52472654131763  
  21     52462754316137  
  22     51716254237643  
  23     46357432652171  
  24     46171452632753  
  25     46171435623725  
  26     45671415362732  
  27     41716425327635  
  28     41617435263275  
  29     37463254276151  
  30     36713145627425  
  31     35743625427161  
  32     35723625417164  
  33     34673245261715  
  34     34573641512762  
  35     27423564371516  
  36     26721514637543  
  37     26327435614175  
  38     26325734615147  
  39     25623745361417  
  40     24723645317165  
  41     23726351417654  
  42     23627345161475  
  43     17126425374635  
  44     17125623475364  
  45     16172452634753  
  46     16135743625427  
  47     15173465324726  
  48     15167245236473  
  49     15163745326427  
  50     15146735423627  
  51     14167345236275  
  52     14156742352637  

n=8   时,有300个解:   
  1       8642752468357131  
  2       8642572468531713  
  3       8631713568427524  
  4       8613175368425724  
  5       8527326538471614  
  6       8514167548236273  
  7       8457264258376131  
  8       8456274258631713  
  9       8451714658237263  
  10     8427524638573161  
  11     8426724358637151  
  12     8416174358632752  
  13     8372632458764151  
  14     8357236258471614  
  15     8352732658417164  
  16     8316135748625427  
  17     8273264358746151  
  18     8271216458734653  
  19     8271215648735463  
  20     8253267358416174  
  21     8247263458376151  
  22     8246257438653171  
  23     8237243568471516  
  24     8236253748651417  
  25     8141673458362752  
  26     8131743568427526  
  27     8131573468524726  
  28     8131563748526427  
  29     8121726358437654  
  30     8121724568347536  
  31     8121627538463574  
  32     8121625748365437  
  33     7831613574862542  
  34     7823625374865141  
  35     7813156374852642  
  36     7812162574836543  
  37     7582462574386131  
  38     7581416574382632  
  39     7562842576431813  
  40     7561814576342832  
  41     7536483574612182  
  42     7528623574368141  
  43     7518136573428624  
  44     7516184573642382  
  45     7485264275386131  
  46     7481514673582362  
  47     7468254276358131  
  48     7463584376512182  
  49     7426824375631815  
  50     7425824675131863  
  51     7416184572632583  
  52     7386235274685141  
  53     7386131574682542  
  54     7385236275481614  
  55     7368131576428524  
  56     7345638475261218  
  57     7318134675248265  
  58     7283246375481615  
  59     7281216475384635  
  60     7281215673485364  
  61     7263285376415184  
  62     7246258473651318  
  63     7245286475131683  
  64     7245268475316138  
  65     7238243675418165  
  66     7236283475614185  
  67     7141863475326825  
  68     7141586472532683  
  69     7141568473526328  
  70     7131853672452864  
  71     7131683572462584  
  72     7131683475264285  
  73     6852472654831713  
  74     6831713645827425  
  75     6827325634875141  
  76     6814157643852372  
  77     6752842657431813  
  78     6751814657342832  
  79     6734583647512182  
  80     6714185647235283  
  81     6485724625387131  
  82     6475824625731813  
  83     6475384635712182  
  84     6471814652732853  
  85     6471814635723825  
  86     6418174625328735  
  87     6417184635273285  
  88     6384537642582171  
  89     6378131645728425  
  90     6357832652471814  
  91     6357438654271218  
  92     6285247635483171  
  93     6284273645381715  
  94     6278234653748151  
  95     6275284635743181  
  96     6274258643751318  
  97     6258237653418174  
  98     6257248653471318  
  99     6238273651418754  
  100   6237283645171485  
  101   6181537643582472  
  102   6181473654382752  
  103   6171834653742852  
  104   6171825624735843  
  105   6151847652432873  
  106   6151748653427328  
  107   5864275246831713  
  108   5841715463827326  
  109   5827425634873161  
  110   5824625743861317  
  111   5823725364817146  
  112   5817135643872462  
  113   5814175642832763  
  114   5814165743826327  
  115   5784265247386131  
  116   5748625427368131  
  117   5746825427631813  
  118   5746385437612182  
  119   5728325637418164  
  120   5724825647131863  
  121   5716185347632482  
  122   5673485364712182  
  123   5671815364732842  
  124   5628425764318137  
  125   5618175264238743  
  126   5618145763428327  
  127   5378435624728161  
  128   5378235264718146  
  129   5374835641712862  
  130   5364835746121827  
  131   5286235743681417  
  132   5283275364181746  
  133   5248275461318736  
  134   5247285463171386  
  135   5181725623487364  
  136   5181375632482764  
  137   5181365734286247  
  138   5171835463724826  
  139   5161845736423827  
  140   5161785246237483  
  141   4862742356837151  
  142   4857141653872362  
  143   4853647352862171  
  144   4852642753861317  
  145   4835743625827161  
  146   4815146735823627  
  147   4782542637583161  
  148   4758141657238263  
  149   4753648357261218  
  150   4752842657131863  
  151   4738643257268151  
  152   4738543627528161  
  153   4718146257238653  
  154   4718143567328526  
  155   4716148537623528  
  156   4683547362582171  
  157   4682542763581317  
  158   4672842365731815  
  159   4637843265271815  
  160   4635843765121827  
  161   4618147365238275  
  162   4617148562372538  
  163   4586347532682171  
  164   4578141563728326  
  165   4567841516372832  
  166   4567348536271218  
  167   4278246151738653  
  168   4275248635713168  
  169   4268247516138573  
  170   4268243756318157  
  171   4258246751318637  
  172   4257248653171368  
  173   4181742562387536  
  174   4161845726325837  
  175   4161748526327538  
  176   4161748356237258  
  177   3862352746851417  
  178   3861315746825427  
  179   3857316154872642  
  180   3852362754816147  
  181   3847362452876151  
  182   3847326425871615  
  183   3845367425826171  
  184   3825327465814176  
  185   3782342567481516  
  186   3758316157428624  
  187   3746385427625181  
  188   3726328457614158  
  189   3681317562482574  
  190   3681317465284275  
  191   3681315764285247  
  192   3672382465714185  
  193   3645378465121728  
  194   3628327561418574  
  195   3627328564171548  
  196   3586371514682742  
  197   3582372564181746  
  198   3574386541712682  
  199   3568371516428724  
  200   3568347526428171  
  201   3568327526418174  
  202   3564378546121728  
  203   3486374151682752  
  204   3485374615182762  
  205   3485374265281716  
  206   3478324625718165  
  207   3467384516172582  
  208   3456384752612187  
  209   3181375264285746  
  210   3181367245286475  
  211   3181347562482576  
  212   3181346752482657  
  213   3171386425724685  
  214   3171384562742586  
  215   3171368524726548  
  216   3171358642752468  
  217   2862357436854171  
  218   2862171456834753  
  219   2852734653847161  
  220   2852716154837643  
  221   2852637453864171  
  222   2852467354836171  
  223   2842367435816175  
  224   2832463754816157  
  225   2812175364835746  
  226   2812174635843765  
  227   2812167345836475  
  228   2812164753846357  
  229   2812157463854376  
  230   2812156734853647  
  231   2782345637485161  
  232   2752683457364181  
  233   2742853467351816  
  234   2732583467514186  
  235   2682537463584171  
  236   2682171465384735  
  237   2672815164735843  
  238   2672485364735181  
  239   2642783465317185  
  240   2632853764151847  
  241   2632783561417584  
  242   2582473564381716  
  243   2572861514736843  
  244   2572834563741816  
  245   2572638543761418  
  246   2572368534716148  
  247   2482374635181765  
  248   2472864151736853  
  249   2462784516137583  
  250   2462584736513187  
  251   2452864751316837  
  252   2452684753161387  
  253   2382736151487654  
  254   2382437564181576  
  255   2382436754181657  
  256   2362834756141857  
  257   1815374635842762  
  258   1815267245836473  
  259   1814637543862572  
  260   1813475364825726  
  261   1718246257438653  
  262   1716384537642582  
  263   1716285247635483  
  264   1714853647352862  
  265   1714683547362582  
  266   1714586347532682  
  267   1713845367425826  
  268   1713568347526428  
  269   1712862357436854  
  270   1712852637453864  
  271   1712852467354836  
  272   1712682537463584  
  273   1618274265348735  
  274   1618257263458374  
  275   1617483564372582  
  276   1617285263475384  
  277   1615847365432872  
  278   1613857362452874  
  279   1613784365247285  
  280   1613758364257248  
  281   1518627523468374  
  282   1518473564328726  
  283   1517386532472684  
  284   1517368534276248  
  285   1516782542637483  
  286   1516738543627428  
  287   1516478534623728  
  288   1514678542362738  
  289   1418634753268257  
  290   1415864725326837  
  291   1415784365237286  
  292   1415684735263287  
  293   1318637245268475  
  294   1318536724528647  
  295   1317835264275846  
  296   1317538642572468  
  297   1316837425624875  
  298   1316835724625847  
  299   1316834752642857  
  300   1316738524627548

方法2（lg_cai提供）

1. Dim a(1 To 16), j, s
2. Sub cai()
3. For j = 1 To 8
4. s = 0
5.  cz j
6. Next j
7. End Sub
8. Sub cz(zz)
9. For i = zz + 2 To 2 * j
10.  If a(i) = 0 And a(i - zz - 1) = 0 Then
11.   a(i) = zz
12.   a(i - zz - 1) = zz
13.         If zz > 1 Then
14.          cz zz - 1
15.         Else
16.          For k = 1 To 2 * j
17.           ls = ls & a(k)
18.          Next k
19.          s = s + 1
20. Debug.Print "'" & ls
21.         End If
22.   a(i) = 0
23.   a(i - zz - 1) = 0
24.  End If
25. Next
26. End Sub

 

C++ 代码（zhc6211026 提供）

1. #include <iostream>
3. using namespace std;
5. int* numarr;
6. bool* numused;
8. void DoubleN(int n,int i,int c=0);
9. void printnum(int* arr,int n);
10. int main()
11. {
12. int n,i;
13. cin>>n;
14. numarr = new int[2*n];
15. numused = new bool[2*n];
16. for (i=0;i<2*n;i++)
17. {
18. numarr[i] = 0;
19. numused[i] = false;
20. }
21. DoubleN(n,1);
23. return 0;
24. }
26. void DoubleN(int n,int i,int c)
27. {
28. int k=0;
29. for (k=0; k < 2*n - i;k++)
30. {
31. if (!numused[k] && !numused[k+i+1])
32. {
33. numused[k] = numused[k+i+1] = true;
34. numarr[k] = numarr[k+i+1] = i;
35. if (i == n)
36. {
37. printnum(numarr,n);
38. }
39. else
40. {
41. DoubleN(n,i+1);
42. }
43. numused[k] = numused[k+i+1] = false;
44. numarr[k] = numarr[k+i+1] = 0;
45. }
46. }
47. }
49. void printnum(int* arr,int n)
50. {
51. for (int i=0;i<2*n;i++)
52. {
53. cout<<arr[i];
54. }
55. cout<<endl;
56. }

lg_cai还提供了将1,2,3,...N共3N个数排成一行,3个1   之间各有1个数，3个2   之间各有2个数，...3个N之间各有N个数...的递归方法

1. Dim a(1 To 27), j, s
2. Sub cai()
3. For j = 1 To 9
4. s = 0
5.  cz j
6. Next j
7. End Sub
8. Sub cz(zz)
9. For i = 2 * (zz + 1) + 1 To 3 * j
10.  If a(i) = 0 And a(i - zz - 1) = 0 And a(i - 2 * (zz + 1)) = 0 Then
11.   a(i) = zz
12.   a(i - zz - 1) = zz
13.   a(i - 2 * (zz + 1)) = zz
14.         If zz > 1 Then
15.          cz zz - 1
16.         Else
17.          For k = 1 To 3 * j
18.           ls = ls & a(k)
19.          Next k
20.          s = s + 1
21.          Cells(s, j * 2) = "'" & ls
22.         End If
23.   a(i) = 0
24.   a(i - zz - 1) = 0
25.   a(i - 2 * (zz + 1)) = 0
26.  End If
27. Next i
28. End Sub

代码返回：

 

191618257269258476354938743

191218246279458634753968357

181915267285296475384639743

347936483574692582762519181

753869357436854972642812191

347839453674852962752816191