floy判圈算法--龟兔赛跑

一、算法简述

Floyd判圈算法（Floyd Cycle Detection Algorithm），又称龟兔赛跑算法（Tortoise and Hare Algorithm），是一个可以在有限状态机、迭代函数或者链表上判断是否存在环，以及判断环的起点与长度的算法。

二、基本思路

在某种关系下，顶点 i 到 k 拓扑有序，顶点 k 到 j 也是相同的顺序，那么 i 和 j 也存在这个顺序。要是某一个顶点出现了自己到自己的环，那么图中就有环，但是这种方法复杂度高一些，没有检测顶点出度或者DFS的方法快，但是非常简单。

三、问题

如何检测一个链表是否有环，如果有，那么如何确定环的起点和环的长度。

四、解决方案

（1）判断是否有环？

龟兔解法的基本思想可以用我们跑步的例子来解释，如果两个人同时出发，如果赛道有环，那么快的一方总能追上慢的一方。进一步想，追上时快的一方肯定比慢的一方多跑了几圈，即多跑的路的长度是圈的长度的倍数。

基于上面的想法，Floyd用两个指针，一个慢指针（龟）每次前进一步，快指针（兔）指针每次前进两步（两步或多步效果时等价的，只要一个比另一个快就行）。如果两者在链表头以外的某一点相遇（即相等）了，那么说明链表有环，否则，如果（快指针）到达了链表的结尾，那么说明没坏。

（2）求环的长度

相遇的时候，一定已经在环上了，然后两个人只要再次在环上接着跑，再次相遇的时候（也就是所谓的套圈），跑的快的那个人就比跑的慢的人整整多跑了一圈，所以环的长度也就出来了。

（3）如何确定环的起点

环的检测用上述原理，接下来我们来看一下如何确定环的起点，这也是Floyd解法的第二部分。方法是将其中一个指针移到链表起点，两者同时移动，每次移动一步，那么两者相遇的地方就是环的起点。

解析：

首先假设第一次相遇的时候慢指针走过的节点个数为i，设链表头部到环的起点的长度为m，环的长度为n，相遇的位置与起点与起点位置距离为k。

于是有：

i = m + a * n + k

其中a为慢指针走的圈数。

因为快指针的速度是慢指针的2倍，于是又可以得到另一个式子：

2 * i = m + b * n + k

其中b为快指针走的圈数。

两式相减得：

i = ( b - a ) * n

也就是说i是圈长的整数倍。

这是将其中一个节点放在起点，然后同时向前走m步时，此时从头部走的指针在m位置。而从相遇位置开始走的指针应该在距离起点i+m，i为圈长整数倍，则该指针也应该在距离起点为m的位置，即环的起点。

实例程序如下：

int *head = list.GetHead();
if (head != null) {
    int *fastPtr = head;
    int *slowPtr = head;

    bool isCircular = true;

    do
    {
        if (fastPtr->Next == null || fastPtr->Next->Next == null) //List end found
        {
            isCircular = false;
            break;
        }

        fastPtr = fastPtr->Next->Next;
        slowPtr = slowPtr->Next;
    } while (fastPtr != slowPtr);
    //确定环的起点
    slowPtr = head;
    while(slowPtr != fastPtr)
    {
        slowPtr = slowPtr->Next;
        fastPtr = fastPtr->Next;
    }
    cout<<"the starting point of the cycle is "<<slowPtr<<endl;
}