APIO2010 特别行动队

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DP方程：(dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c))

暴力还是可以过一些点的（不止20pts），甚至有人说他暴力水过去了。。。

我们现在考虑正解，正解还是斜率优化。维护一个上凸包qwqwq

设(dp[i])表示到士兵i所能达到的最大战力,(sum[i])表示前缀和
(dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a*sum_{k=j+1}^{i}x[k]^2+b*sum_{k=j+1}^i+c))
(=max(dp[i],dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c))

用斜率优化更新的时候——

(dp[i]=dp[j]+a*sum[i]^2+a*sum[j]^2-2a*sum[i]*sum[j]+b*sum[i]-b*sum[j]+c)

(2a*sum[i]*sum[j]+dp[i]-b*sum[i]-a*sum[i]^2=dp[j]+a*sum[j]^2-b*sum[j]+c)

(2a*sum[i]*x+b=y)

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 1000010
using namespace std;
int n,head=1,tail=1;
long long a,b,c;
long long pre[MAXN],sum[MAXN],dp[MAXN],q[MAXN];
inline long long x(int p){return sum[p];}
inline long long y(int p){return dp[p]+a*sum[p]*sum[p]-b*sum[p]+c;}
inline double k(int p,int q){return (y(p)-y(q))/(x(p)-x(q));}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ce.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&pre[i]),sum[i]=sum[i-1]+pre[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&k(q[head],q[head+1])>2*a*sum[i]) head++;
        dp[i]=y(q[head])-2*a*sum[i]*x(q[head])+b*sum[i]+a*sum[i]*sum[i];
        while(head<tail&&k(q[tail-1],q[tail])<k(q[tail-1],i)) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld
",dp[n]);
    return 0;
}

其实单调队列也就只维护两点，head维护的是“第一条斜率大于来切的斜线”，tail维护的是凸包形态qwq