石子合并（NOI1995）

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题目描述

在操场上沿一直线排列着 n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。允许在第一次合并前对调一次相邻两堆石子的次序。
计算在上述条件下将n堆石子合并成一堆的最小得分和初次交换的位置。

输入

输入数据共有二行，其中，第1行是石子堆数n≤100；
第2行是顺序排列的各堆石子数（≤20），每两个数之间用空格分隔。

输出

输出合并的最小得分。

样例输入

3
2 5 1

样例输出

11

看题目可以看出它是没有环的，貌似有环的石子归并也有。题目中开始可以交换相邻的两堆石子可以用枚举实现，然后就是2D/1D类型的dp
一次复杂度为O(n^3),所有总复杂度为O(n^4），这是复杂度一算为1*10^8，也就是100 million,这个还需要卡常数，在当时绝对是卡不过去的，
这时一个非常强势的优化就出现了，那就是平行四边形优化，可以缩掉一维转移的时间。

【定理 1】假如函数 w 满足上述条件，那么函数 m 也满足四边形不等式，即

m (i, j ) + m (i’, j') £ m (i', j ) + m (i , j') ， i ≤ i' < j ≤ j'

我们定义 s (i , j ) 为函数 m (i , j ) 对应的决策变量的最大值

【定理 2】假如 m (i , j ) 满足四边形不等式，那么 s (i , j ) 单调，即：

s (i, j ) ≤ s (i, j +1) ≤ s (i + 1, j +1)

以上比较粗略，详细可以见

动态规划加速原理之四边形不等式 华中师大一附中赵爽

看一下代码比较好

#include<cstdio> 
#include<algorithm> 
#include<cmath> 
#include<cstring> 
#include<string> 
#include<iostream> 
  
using namespace std; 
const int MAXN=107; 
int n,ans,dp[MAXN][MAXN],a[MAXN],s[MAXN][MAXN],sum[MAXN]; 
  
void solve() 
{ 
    memset(dp,0,sizeof(dp)); 
    memset(s,0,sizeof(s)); 
    for (int i=1;i<=n;i++) 
        { 
            sum[i]=a[i]+sum[i-1]; 
            dp[i][i]=0; 
            s[i][i]=i; 
        } 
    for (int t=1;t<n;t++) 
        for (int i=1;i<=n-t;i++) 
            { 
                int j=i+t; 
                dp[i][j]=MAXN*MAXN*MAXN; 
                for (int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++) //这里s即为平行四边形优化的数组
                { 
                    if (dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]) 
                    { 
                        dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]; 
                        s[i][j]=k; //记录下i,j的最优转移点。
                    } 
                } 
            } 
    ans=min(ans,dp[1][n]);       
} 
int main() 
{ 
    scanf("%d",&n); 
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    { 
        scanf("%d",&a[i]); 
    } 
    ans=MAXN*MAXN*MAXN; 
    solve(); 
    for (int i=1;i<n;i++) 
    { 
        swap(a[i],a[i+1]); 
        solve(); 
        swap(a[i],a[i+1]); 
    } 
    cout<<ans<<endl; 
}