【bzoj2705】[SDOI2012]Longge的问题

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

Sample Output

HINT

【数据范围】
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。

题解

题目中要求出∑gcd(i,N)(1<=i<=N)。

枚举n的约数k，令s(k)为满足gcd(m,n)=k,(1<=m<=n)m的个数，则ans=sigma(k*s(k)) (k为n的约数）

因为gcd(m,n)=k,所以gcd(m/k,n/k)=1,于是s(k)=euler(n/k)

phi可以在根号的时间内求出

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cstring>
 6 #define ll long long
 7 using namespace std;
 8 
 9 ll n,ans;
10 int m;
11 
12 ll phi(ll x)
13 {
14     ll t=x;
15     for(ll i=2;i<=m;i++)
16         if(x%i==0)
17         {
18             t=t/i*(i-1);
19             while(x%i==0)x/=i;
20         }
21     if(x>1)t=t/x*(x-1);
22     return t;
23 }
24 int main()
25 {
26     scanf("%lld",&n);
27     m=sqrt(n);
28     for(int i=1;i<=m;i++)
29         if(n%i==0)
30         {
31             ans+=(ll)i*phi(n/i);
32             if(i*i<n)ans+=(ll)(n/i)*phi(i);  
33         }
34     printf("%lld",ans);
35 }