bzoj 3160 万径人踪灭 FFT

题目大意：给定一个由'a'和'b'构成的字符串，求不连续回文子序列的个数

首先回文一定是将字符串倍增由于求的是不连续回文子序列的个数因此我们可以求出总回文子序列的个数，然后减掉连续的

连续的就是回文子串用Manacher算法可以O(n)求解

不连续的就有些难搞了

首先我们令f[i]表示以i为中心的对称字符对个数

比如s[]=$#a#b#a 那么s[4]='b' f[4]=2

那么对于每个中心i我们有(2^f[i])-1种方案答案即Σ[1<=i<=n*2+1]((2^f[i])-1)

问题就是如何求出f[]数组

我们发现对f[i]有贡献的一对字符在原字符串数组中的位置之和一定是i

比如str+1="aba" 那么第一个字符和第三个字符对倍增后的字符串的第4个位置有贡献

那么显然有f[i]=(Σ[1<=j<=i-1]bool(str[j]==str[i-j]))+1>>1 括号里面是一个卷积的形式可以用FFT进行求解

首先考虑'a'对答案的贡献那么令'a'=1 'b'=0 求出卷积就是'a'的贡献

再考虑'b'对答案的贡献令'a'=0 'b'=1 求出卷积就是'b'的贡献

两次贡献之和+1>>1就是f[]数组代入之前的结论中即可出解

其中的数值是0和1代入

 1 #pragma GCC optimize(2)
 2 #pragma G++ optimize(2)
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<iostream>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<cstdio>
 8 
 9 #define mod 1000000007
10 #define ll long long
11 #define pi acos(-1)
12 #define N 300007
13 using namespace std;
14 inline int read()
15 {
16     int x=0,f=1;char ch=getchar();
17     while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
18     while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
19     return x*f;
20 }
21 
22 int n,m,len,L;
23 ll ans;char ch[N];
24 int rev[N],bin[N],p[N];
25 struct comp
26 {
27     double r,v;
28     void init(){r=v=0;}
29     inline comp operator+(const comp &a){return(comp){r+a.r,v+a.v};}
30     inline comp operator-(const comp &a){return(comp){r-a.r,v-a.v};}
31     inline comp operator*(const comp &a){return(comp){r*a.r-v*a.v,r*a.v+v*a.r};}
32 }a[N],f[N],g[N];
33 
34 void manacher()
35 {
36     ch[0]='+',ch[len+1]='-';
37     int id,mx=0;
38     for(int i=1;i<=len;i++)
39     {
40         if(mx>i)p[i]=min(p[2*id-i],mx-i+1);
41         else p[i]=1;
42         while(ch[i+p[i]]==ch[i-p[i]])p[i]++;
43         if(i+p[i]-1>mx)mx=i+p[i]-1,id=i;
44         (ans-=p[i])%=mod;
45     }
46     mx=0;
47     for(int i=1;i<=len;i++)
48     {
49         if(mx>i)p[i]=min(mx-i,p[2*id-i]);
50         else p[i]=0;
51         while(ch[i+p[i]+1]==ch[i-p[i]])p[i]++;
52         if(i+p[i]>mx)mx=i+p[i],id=i;
53         (ans-=p[i])%=mod;
54     }
55 }
56 void FFT(comp *a,int f)
57 {
58     for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
59     for(int i=1;i<n;i<<=1)
60     {
61         comp wn=(comp){cos(pi/i),f*sin(pi/i)};
62         for (int j=0;j<n;j+=(i<<1))
63         {
64             comp w=(comp){1,0};
65             for (int k=0;k<i;k++,w=w*wn)
66             {
67                 comp x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
68                 a[j+k]=x+y,a[j+k+i]=x-y;
69             }
70         }
71     }
72     if(f==-1)for (int i=0;i<n;i++)a[i].r/=n;
73 }
74 int main()
75 {
76     bin[0]=1;for (int i=1;i<=100000;i++)bin[i]=(bin[i-1]<<1)%mod;
77     scanf("%s",ch+1);len=strlen(ch+1);
78     manacher();
79     m=2*(len-1);for(n=1;n<=m;n<<=1,L++);if(L)L--;
80     for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<L);
81     for (int i=0;i<len;i++)a[i].r=(ch[i+1]=='a')?1:0;
82     FFT(a,1);
83     for (int i=0;i<n;i++)f[i]=a[i]*a[i];
84     FFT(f,-1);
85     for (int i=0;i<n;i++)a[i].init();    
86     for (int i=0;i<len;i++)a[i].r=(ch[i+1]=='b')?1:0;
87     FFT(a,1);
88     for (int i=0;i<n;i++)g[i]=a[i]*a[i];
89     FFT(g,-1);
90     for (int i=0;i<n;i++)
91     {
92         int x=(int)(f[i].r+0.5)+(int)(g[i].r+0.5);
93         ans+=bin[(x+1)/2]-1;
94         ans%=mod;
95     }
96     printf("%lld",(ans+mod)%mod);
97 }

bzoj 3160 万径人踪灭 FFT

万径人踪灭

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