bzoj 4414 数量积 结论题

数量积

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Description

神犇heheda最近得到了UOJ抱枕，蒟蒻yts1999想要玩。于是heheda给yts1999出了一道题：

一个长度为2n+2的整数数列 按照下式定义：

A0=0

A1=C

Ai+2=(Ai+1+Ai) Mod M (0<=i<=2*N)

现有n个平面向量v1…vn：

V1=(A2,A3),V2=(A4,A5)...Vn=(A2n,A2n+1)

集合S的定义如下：

 

其中"vi•vj"表示向量vi和vj的数量积。

求S集合中不同元素的个数是多少。答案对M取模。

heheda告诉yts1999，只要他做出了这道题，她就可以把抱枕借给他玩一会。然而yts1999实在是太弱了不会做，于是向你求助。

Input

输入数据包含一行三个整数C,M和n，分别表示a1的值，模数和平面向量的个数，每两个数之间用一个空格隔开。

Output

输出一行一个整数表示答案对M取模后的值。

Sample Input

4 5 3

Sample Output

2

HINT

数列为{0,4,4,3,2,0,2,2}，v1=(4,3),v2=(2,0),v3=(2,2)。

v1•v2 mod M=3, v2•v3 mod M=4, v1•v3 mod M=4。

对于100%的数据，1≤C≤10^9,1≤M≤10^9,1≤n≤3*10^5

 

题解：对于这类类似菲波那切数列的数列，有一个重要结论f[1]*f[n+m+1]=f[n]*f[m]+f[n+1]*f[m+1] 
这不就是题目所要求的数量积吗？

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>

#define N 1200007
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int m,n,tot,ans;
ll f[N],q[N];

int main()
{
    f[1]=read();m=read();n=read();n<<=2;
    if (m==1) return puts("1"),0;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
         f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%m;
         if ((i&1)&&i>6) q[++tot]=f[i]*f[1]%m;
    }
    sort(q+1,q+tot+1);
    for (int i=1;i<=tot;i++) 
        if (q[i]!=q[i-1]||i==1) ans++;
    ans%=m;
    printf("%d",ans);
}