树与树算法

树与树算法

树的概念

树是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；

• 没有父节点的节点称为根节点；

• 每一个非根节点有且仅有一个父节点；

• 除了根节点外。每个子节点可以分为多个不想交的子树；

树的术语

• 节点的度：一个节点中含有子树的个数称为该节点的度；

• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

• 叶节点或终端节点：度为零的节点；

• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；

• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；

• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；

• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；

• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
    • 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；
  • 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

常见的一些树的应用场景

• xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
• 路由协议就是使用了树的算法
• mysql数据库索引
• 文件系统的目录结构
• 所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构 # 二叉树

二叉树的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）

二叉树的性质（特性）

• 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
• 性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
• 性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
• 性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
• 性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

二叉树的节点表示以及树的创建

通过使用Node类定义三个属性，分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子。

class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, elem=-1, lchild=None, rchild=None):
        self.elem = elem
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild
        
    class Tree(object):
    """树类"""
        def __init__(self, root=None):
            self.root = root
        def add(self, elem):
        """为树添加节点"""
        node = Node(elem)
        # 如果树是空的，则对根节点赋值
        if self.root == None:
            self.root = node
        else:
            queue = []
            queue.append(self.root)
            # 对已有的节点进行层次遍历
            while queue:
                #弹出队列的第一个元素
                cur = queue.pop(0)
                if cur.lchild == None:
                    cur.lchild = node
                    return
                elif cur.rchild == None:
                    cur.rchild = node
                    return
                else:
                    # 如果左右子树都不为空，加入队列继续判断
                    queue.append(cur.lchild)
                    queue.append(cur.rchild)

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

深度优先遍历

对于一颗二叉树，深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。
那么深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点，它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历（preorder），中序遍历（inorder）和后序遍历（postorder）。我们来给出它们的详细定义，然后举例看看它们的应用。

• 先序遍历在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树：根节点->左子树->右子树

def preorder(self, root):
      """递归实现先序遍历"""
      if root == None:
          return
      print(root.elem)
      self.preorder(root.lchild)
      self.preorder(root.rchild)

• 中序遍历 在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树：左子树->根节点->右子树

def inorder(self, root):
      """递归实现中序遍历"""
      if root == None:
          return
      self.inorder(root.lchild)
      print(root.elem)
      self.inorder(root.rchild)

• 后序遍历 在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点：左子树->右子树->根节点

def postorder(self, root):
      """递归实现后续遍历"""
      if root == None:
          return
      self.postorder(root.lchild)
      self.postorder(root.rchild)
      print(root.elem)

广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始，从上到下从左到右遍历整个树的节点。

def breadth_travel(self, root):
        """利用队列实现树的层次遍历"""
        if root == None:
            return
        queue = []
        queue.append(root)
        while queue:
            node = queue.pop(0)
            print(node.elem)
            if node.lchild != None:
                queue.append(node.lchild)
            if node.rchild != None:
                queue.append(node.rchild)

二叉搜索树

概念：二叉查找树（Binary Search Tree），（又：[二叉搜索树]，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的[二叉树]： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为[二叉排序树]。

LeetCode题目总结

94. 二叉树的中序遍历

题目：给定一个二叉树，返回它的中序遍历。
解题思路：中序遍历(左子树->根节点->右子树)，使用递归的思想。
解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def inorderTraversal(self, root):
        ans=[]
        def helper(root):
            # 如果root为空则跳出循环
            if root == None:
                return
            helper(root.left)
            ans.append(root.val)
            helper(root.right)
        helper(root)
        return ans

144. 二叉树的前序遍历

题目：给定一个二叉树，返回它的前序遍历。
解题思路：前序遍历(根节点->左子树->右子树)，使用递归的思想。
解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        ans = []
        def helper(root):
            if root == None:
                return 
            ans.append(root.val)
            heloer(root.left)
            helper(root.right)
        helper(root)
        return ans

145. 二叉树的后序遍历

题目：给定一个二叉树，返回它的后续遍历。
解题思路：后续遍历(左子树->右子树->根节点)，使用递归思想。
解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def postorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        ans = []
        def helper(root):
            if root == None:
                return
            helper(root.left)
            helper(root.right)
            ans.append(root.val)
        helper(root)
        return ans

102. 二叉树的层次遍历

题目：给定一个二叉树，返回其按层次遍历的节点值。（即逐层地，从左到右访问所有节点）。
解题思路：层次遍历属于广度遍历，优先使用队列。
解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:
        if root == None:
            return []
        # 定义一个队列和一个列表
        q, ans = collections.deque([root]), []
        while q:
            cur_level = []
            n = len(q)
            for _ in range(n):
                cur = q.popleft()
                cur_level.append(cur.val)
                if cur.left:
                    q.append(cur.left)
                if cur.right:
                    q.append(cur.right)
            ans.append(cur_level)
        return ans

定义队列
q = collections.deque([root])

100. 相同的树

题目：给定两个二叉树，编写一个函数来检验它们是否相同。如果两个树在结构上相同，并且节点具有相同的值，则认为它们是相同的。
解题思路：使用先序遍历两棵树的方法逐个元素确认是否相同，找对判断的出口是程序的关键。
解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None
class Solution:
    def isSameTree(self, p: TreeNode, q: TreeNode) -> bool:
    # 判断两棵树是否为空，如果为空则返回True
    if p==None and q==None:
        return True
    # 使用先序遍历的方法逐个元素确认是否相同
    if p and q: 
        return p.val==q.val and self.isSameTree(p.left, q.left) and self.isSameTree(p.right, q.right)
        return Flase

101. 对称二叉树

题目：给定一个二叉树，检查它是否是镜像对称的。
解题思路：找准出口，采用递归的思想。
解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def isSymmetric(self, root: TreeNode) -> bool:
        if root==None:
            return True
        def helper(left, right):
            if left==None and right==None:
                return True
            if left and right:
                return left.val==right.val and helper(left.left,right.right) and helper(left.righr, right.left)
            return False
        return helper(root.left, root.right)

二叉搜索树

95. 不同的二叉搜索树(二)

题目：给定一个整数 n，生成所有由 1 ... n 为节点所组成的二叉搜索树。
解题思路： 分治，对于1~n这n个数，都有可能成为根结点。枚举1到n，对于 1<=i<=n，有i的左结点为[1,i-1] (i-1 >=1),右结点是[i+1,n] i+1 <=n
递归的获取左右子结点，然后只需要建立根结点，使根结点的左右子结点指向获取的左右子结点即可。
解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def generateTrees(self, n: int) -> List[TreeNode]:
        def helper(s, e):
            if s > e:
                return [None]
            ans = []
            for i in range(s, e+1):
                L = helper(s, i-1)
                R = helper(i+1, e)
                for left in L:
                    for right in R:
                        root = TreeNode(i)
                        root.left, left.root = left, right
                        ans.append(root)
                return ans
            return helper(1, n) if n >= 1 else []

96. 不同的二叉搜索树

题目：给定一个整数n， 求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种。
解题思路:
解题代码：

103. 二叉树的锯齿层次遍历

题目：给定一个二叉树，返回其节点值的锯齿形层次遍历。（即先从左往右，再从右往左进行下一层遍历，以此类推，层与层之间交替进行）。

解题思路：此题与层次遍历很相似，只是在输出每层结果的时候判断是应该正序输出还是逆序输出。

解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def zigzagLevelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:
        if root == None:
            return []
        # 定义队列
        q = collections.deque([root])
        ans = []
        level = 0
        while q:
            cur_level = []
            cur_size = len(q)
            for i in range(cur_size):
                cur = q.popleft()
                if cur.left:
                    q.append(cur.left)
                if cur.right:
                    q.append(cur.right)
                cur_level.append(cur.val)
            ans.append(cur_level[::-1] if level & 1 else cur_level)
            level += 1
        return ans

111.二叉树的最小深度

题目：给定一个二叉树，找出其最小深度。最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。

解题思路：此题使用递归的方法处理，关键点是找到4个出口。

解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def minDepth(self, root: TreeNode) -> int:
        def dfs(root, depth):
            # 4个if语句找到4个出口
            if root == None:
                return depth
            if root.left == None and root.right:
                return dfs(root.right, depth+1)
            if root.left and root.right==None:
                return dfs(root.left, depth+1)
            if root.left==None and root.right == None:
                return depth + 1
            # 如果以上4个出口都不符合则使用递归的方法循环处理
            L , R = dfs(root.left,depth+1), dfs(root.right,depth+1)    
            return min(L,R)
        if root == None:
            return 0
        return dfs(root, 0)

105.从前序与中序遍历序列构造二叉树

题目：根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。例如，给出前序遍历 preorder = [3,9,20,15,7] 中序遍历 inorder = [9,3,15,20,7]。

解题思路：前序遍历为： 3,9,20,15,7 中序遍历为： 9,3,15,20,7

前序遍历的第一个一定是根结点，而中序遍历的根结点把树准确的分为左子树和右子树。所以，在中序遍历中查找3，发现下标为1，那么[0,1)为左子树，[2,5)为右子树。

解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def buildTree(self, preorder: List[int], inorder: List[int]) -> TreeNode:
        # 找到程序出口
        if not preorder:
            return None
        root = TreeNode(preorder[0])
        index = inorder.index(preorder[0])
        # 采用递归的方式构造左子树和右子树
        root.left = self.buildTree(preorder[1: index + 1], inorder[:index])
        root.right = self.buildTree(preorder[1: index + 1], inorder[:index]) 
        # 最后只需返回二叉树的根节点
        return root

106.从中序与后序遍历序列构造二叉树

题目：根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树。例如，给出 中序遍历 inorder = [9,3,15,20,7] 后序遍历 postorder = [9,15,7,20,3]。

解题思路：解题思路与105题类似，不过根节点在最后。

解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None
# 此题需要重新复习
class Solution:
    def buildTree(self, inorder: List[int], postorder: List[int]) -> TreeNode:
        def build(ib, ie, pb, pe, inorder, preorder):
            if ib >= ie or pb > pe:
                return None
            root = TreeNode(preorder[pe - 1])
            len_left = inorder.index(preorder[pe - 1]) - ib
            root.left = build(ib, ib + len_left, pb, pb + len_left, inorder, preorder)
            root.right = build(ib + len_left + 1, ie, pb + len_left, pe - 1, inorder, preorder)
            return root
        return build(0, len(inorder), 0, len(postorder), inorder, postorder)

112.路径总和

题目描述：给定一个二叉树和一个目标和，判断该树中是否存在根节点到叶子节点的路径，这条路径上所有节点值相加等于目标和。

解题思路：熟练运用递归的思想，每次遇到根节点就减掉此根节点的值，找到两个出口，第一是根节点是否为空；第二是减去根节点的值后，如果此根节点的左右子树均为空，则判断减掉之后的值是否为0。

解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def hasPathSum(self, root: TreeNode, sum: int) -> bool:
        # 第一个出口，如果根节点为空，则返回False
        if not root:
            return False
        sum -= root.val
        # 第二个出口，如果左右节点均为空，则判断剩下的值是否为0
        if not root.left and not root.right:
            return sum == 0
        # 递归调用以上程序，并且使用or，只要有一个为True则返回True
        return self.hasPathSum(root.left, sum) or self.hasPathSum(root.right, sum)

113.路径总和(2)

题目描述：给定一个二叉树和一个目标和，找到所有从根节点到叶子节点路径总和等于给定目标和的路径。

解题思路：此题。。。。。。。

解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None
# 此题理解的不是很好，还应该仔细复习
class Solution:
    def pathSum(self, root: TreeNode, sum: int) -> List[List[int]]:
        ans, path = [], []
        self.dfs(0, root, sum, path, ans)
        return ans
    
    def dfs(self, cur, root, sum, path, ans):
        if not root: return 
        if not root.left and not root.right:
            if cur+root.val == sum:
                path.append(root.val)
                ans.append(path[:])
                path.pop()
            return        
        path.append(root.val)
        self.dfs(cur+root.val,root.left,sum,path,ans)
        self.dfs(cur+root.val,root.right,sum,path,ans)
        path.pop()

114.二叉树展开为列表

题目描述：给定一个二叉树，原地将它展开为链表。

解题思路：按照题目中给的例子，应该按照先序遍历的方法将二叉树展开为链表。

解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None
# 此题涉及二叉树和链表的知识点，需要重新思考，解题。
class Solution:
    def flatten(self, root: TreeNode) -> None:
        """
        Do not return anything, modify root in-place instead.
        """
        if not root:
            return
        self.flatten(root.left)
        self.flatten(root.right)
        left = root.left
        if not left: return
        while left.right:
            left = left.right
        left.right = root.right
        root.right = root.left
        root.left = None

116填充每个节点的下一个右侧节点指针

117.充每个节点的下一个右侧节点指针

124.二叉树的最大路径和

129.求根到叶子节点数字之和

题目描述：给定一个二叉树，它的每个结点都存放一个 0-9 的数字，每条从根到叶子节点的路径都代表一个数字。

解题思路：此题使用先序遍历的方法，当判断此节点为叶子节点时则把值加到ans[0]上，如果不是叶子节点，则把数值加到cur上。

解题代码：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def sumNumbers(self, root: TreeNode) -> int:
        def dfs(root, cur, ans):
            if not root:
                return 
            # 如果是叶子节点，则加到ans[0]上
            if not root.left and not root.right:
                ans[0] += cur * 10 + root.val
            # 如果不是叶子节点，则把对应的值加到cur上
            else:
                if root.left:
                    dfs(root.left, cur * 10 + root.val, ans)
                if root.right:
                    dfs(root.right, cur * 10 + root.val, ans)
        ans = [0]
        dfs(root, 0, ans)
        return ans[0]

156.上下翻转二叉树

173.二叉搜索迭代器

199.二叉树的右视图