POJ 3621：Sightseeing Cows（最优比率环）

http://poj.org/problem?id=3621

题意：有n个点m条有向边，每个点有一个点权val[i]，边有边权w(i, j)。找一个环使得Σ（val） / Σ（w）最大，并输出。

思路：和之前的最优比率生成树类似，还是构造成这样的式子：F(L) = Σ(val[i] * x[i]) - Σ(w[i] * x[i] * L) = Σ(d[i]) * x[i] (d[i] = val[i] - w[i] * L)，要使得L越大越好。

那么当L越大的时候，F(L)就越小，如果F(L)大于等于0的话，说明是可以改进的，于是要找最大的d[i]，使得结果更优。这样就是求最长路并判正环。但是并不好处理。

那么反过来，F(L) = Σ(-d[i] * x[i])，就是要求得最短路并判负环，这样就可以直接套SPFA了。如果有负环的话，说明可以得到更优的结果。

还有起点是不固定的，于是一开始先把所有的点入队，然后再去求。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define N 10010
#define INF 0x3f3f3f3f
const double eps = 1e-9;
struct Edge {
    int v, w, nxt;
} edge[N];
int n, m, val[N], vis[N], tid[N], head[N], tot;
double dis[N];

void Add(int u, int v, int w) { edge[tot] = (Edge) {v, w, head[u]}; head[u] = tot++; }

bool SPFA(double k) {
    queue<int> que;
    memset(tid, 0, sizeof(tid));
    for(int i = 1; i <= n; i++) que.push(i), vis[i] = 1, dis[i] = 0, tid[i] = 1;
    while(!que.empty()) {
        int u = que.front(); que.pop();
        tid[u]++; vis[u] = 0;
        if(tid[u] > n) return false;
        for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
            int v = edge[i].v;
            double d = (double)val[v] - k * edge[i].w;
            if(dis[v] > dis[u] - d) {
                dis[v] = dis[u] - d;
                if(!vis[v]) vis[v] = 1, que.push(v);
            }
        }
    }
    return true;
}

double solve() {
    double l = 0, r = INF;
    while(fabs(r - l) > eps) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(SPFA(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

int main() {
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        tot = 0; memset(head, -1, sizeof(head));
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &val[i]);
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            int u, v, w;
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
            Add(u, v, w);
        }
        printf("%.2f
", solve());
    }
    return 0;
}