图

图（Graph）是一种较线性表和树更为复杂的数据结构。在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，即每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继；在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，虽然每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素（孩子） 相关，但只能和上一层中一个元素（双亲）相关；而在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，任意两个数据元素之间都可能相关。 

 

有向图和无向图

1．有向图
    　若图G中的每条边都是有方向的，则称G为有向图(Digraph)。
（1）有向边的表示
    　在有向图中，一条有向边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示。有向边也称为弧(Arc)，边的始点称为弧尾(Tail)，终点称为弧头(Head)。
  【例】<v_i，v_j>表示一条有向边，v_i是边的始点(起点)，v_j是边的终点。因此，<v_i，v_j>和<v_j，v_i>是两条不同的有向边。

（2）有向图的表示
  【例】下面(a)图中G₁是一个有向图。图中边的方向是用从始点指向终点的箭头表示的，该图的顶点集和边集分别为：
      V(G₁)={v₁，v₂，v₃}
      E(G₁)={<v₁，v₂>，<v₂，v₁>，<v₂，v₃>}
      
2．无向图
    　若图G中的每条边都是没有方向的，则称G为无向图(Undigraph)。
（1）无向边的表示
    　无向图中的边均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。
  【例】无序对(v_i，v_j)和(v_j，v_i)表示同一条边。

 

 

（2）无向图的表示
  【例】下面(b)图中的G₂和(c)图中的G₃均是无向图，它们的顶点集和边集分别为：
    V(G₂)={v₁，v₂，v₃，v₄}
    E(G₂)={(v_l，v₂)，(v₁，v₃)，(v₁，v₄)，(v₂，v₃)，(v₂，v₄)，(v₃，v₄)}
    V(G₃)={v₁，v₂，v₃，v₄，v₅，v₆，v₇}
    E(G₃)={(v₁，v₂)，(v_l，v₃)，(v₂，v₄)，(v₂，v₅)，(v₃，v₆)，(v₃，v₇)}
    
  注意：
　    在以下讨论中，不考虑顶点到其自身的边。即若(v₁，v₂)或<v_l，v₂>是E(G)中的一条边，则要求v₁≠v₂。此外，不允许一条边在图中重复出现，即只讨论简单的图。

 

3．图G的顶点数n和边数e的关系
（1）若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2
    　恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undireet-ed Complete Graph)

（2）若G是有向图，则0≤e≤n(n-1)。
    　恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)。
  注意：
    　完全图具有最多的边数。任意一对顶点间均有边相连。
  【例】上面(b)图的G₂就是具有4个顶点的无向完全图。

3．顶点的度(Degree)
（1）无向图中顶点v的度(Degree)
　    无向图中顶点v的度(Degree)是关联于该顶点的边的数目，记为D(v)。
【例】上图G₂中顶点v₁的度为3

（2）有向图顶点v的入度(InDegree)
　    有向图中，以顶点v为终点的边的数目称为v的入度(Indegree)，记为ID(v)。
【例】上图G₁中顶点v₂的人度为l

（3）有向图顶点v的出度(Outdegree)
　    有向图中，以顶点v为始点的边的数目，称为v的出度(Outdegree)，记为OD(v)
【例】上图G₁中顶点v₂的出度为2
  注意：
　    ①有向图中，顶点v的度定义为该顶点的入度和出度之和，即D(v)=ID(v)+OD(v)。
【例】上图G₁中顶点v₂的人度为l，出度为2，则度为3。
    　②无论有向图还是无向图，顶点数n、边数e和度数之间有如下关系：
        

 

路径长度
   　 路径长度定义为该路径上边的数目。

 

网络(Network)

　    若将图的每条边都赋上一个权，则称这种带权图为网络(Network)。
注意：
　    权是表示两个顶点之间的距离、耗费等具有某种意义的数。

 

图的存储结构

 

图的存储表示方法很多，这里介绍两种最常用的方法。至于具体选择哪一种表示法，主要取决于具体的应用和欲施加的操作。
    　为了适合用C语言描述，以下假定顶点序号从0开始，即图G的顶点集的一般形式是V(G)={v₀，v_i，…，V_n-1}。

图的邻接矩阵表示法

1．图的邻接矩阵表示法
    　在图的邻接矩阵表示法中：
　① 用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系
　② 用一个顺序表来存储顶点信息

2．图的邻接矩阵(Adacency Matrix)
    　设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：
       

3．网络的邻接矩阵
    　若G是网络，则邻接矩阵可定义为：
          
  

  其中：
      w_ij表示边上的权值；
      ∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。
【例】下面带权图的两种邻接矩阵分别为A₃和A₄。

         

4．图的邻接矩阵存储结构形式说明
  #define MaxVertexNum l00 //最大顶点数，应由用户定义
  typedef char VertexType； //顶点类型应由用户定义
  typedef int EdgeType； //边上的权值类型应由用户定义
  typedef struct{
      VextexType vexs[MaxVertexNum] //顶点表
      EdeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
                    //邻接矩阵，可看作边表
      int n，e； //图中当前的顶点数和边数
   }MGragh；
  注意：
　    ① 在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点表及顶点数等均可省略）。
    　 ② 当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeTyPe可定义为值为0和1的枚举类型。
    　 ③ 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可压缩存储。
    　 ④ 邻接矩阵表示法的空间复杂度S(n)=0(n²)。

5．建立无向网络的算法。
  void CreateMGraph(MGraph *G)
    {//建立无向网的邻接矩阵表示
      int i，j，k，w；
      scanf("％d％d"，&G->n，&G->e)； //输入顶点数和边数
      for(i=0;i<G->n；i++) //读人顶点信息，建立顶点表
        G->vexs[i]=getchar()；
      for(i=0；i<G->n；i++)
        for(j=0；j<G->n；j++) 
          G->edges[i][j]=0； //邻接矩阵初始化
      for(k=0；k<G->e；k++){//读入e条边，建立邻接矩阵
        scanf("％d％d％d"，&i，&j，&w)；//输入边(v_i,v_j)上的权w
        G->edges[i][j]=w；
        G->edges[j][i]=w；
       }
    }//CreateMGraph

    　该算法的执行时间是0(n+n²+e)。由于e<n²，算法的时间复杂度是0(n²)。

 

图的邻接表表示法 

    　图的邻接表表示法类似于树的孩子链表表示法。对于图G中的每个顶点v_i，该方法把所有邻接于v_i的顶点v_j链成一个带头结点的单链表，这个单链表就称为顶点v_i的邻接表(Adjacency List)。

1． 邻接表的结点结构
（1）表结点结构
    ┌────┬───┐ 
    │adjvex  │next  │
    └────┴───┘
    　邻接表中每个表结点均有两个域:
　① 邻接点域adjvex
　　存放与vi相邻接的顶点v_j的序号j。
　② 链域next
　　将邻接表的所有表结点链在一起。
  注意：
　    若要表示边上的信息(如权值)，则在表结点中还应增加一个数据域。

（2）头结点结构
    ┌────┬─────┐ 
    │vertex  │firstedge │
    └────┴─────┘
    　顶点v_i邻接表的头结点包含两个域：
　① 顶点域vertex
　　存放顶点v_i的信息
　② 指针域firstedge
　　v_i的邻接表的头指针。
  注意：
　    ① 为了便于随机访问任一顶点的邻接表，将所有头结点顺序存储在一个向量中就构成了图的邻接表表示。
    　② 有时希望增加对图的顶点数及边数等属性的描述，可将邻接表和这些属性放在一起来描述图的存储结构。

2．无向图的邻接表
    　对于无向图，v_i的邻接表中每个表结点都对应于与v_i相关联的一条边。因此，将邻接表的表头向量称为顶点表。将无向图的邻接表称为边表。
【例】对于无向图G₅，其邻接表表示如下面所示，其中顶点v₀的边表上三个表结点中的顶点序号分别为1、2和3，它们分别表示关联于v₀的三条边(v₀，v₁)，(v₀，v₂)和(v₀，v₃)。
    

 

 

注意：
    n个顶点e条边的无向图的邻接表表示中有n个顶点表结点和2e个边表结点。

3．有向图的邻接表
    　对于有向图，v_i的邻接表中每个表结点都对应于以v_i为始点射出的一条边。因此，将有向图的邻接表称为出边表。
【例】有向图G₆的邻接表表示如下面(a)图所示，其中顶点v₁的邻接表上两个表结点中的顶点序号分别为0和4，它们分别表示从v₁射出的两条边(简称为v₁的出边)：<v₁，v₀>和<v₁，v₄>。

              
   注意：
    n个顶点e条边的有向图，它的邻接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。

4．有向图的逆邻接表
    在有向图中，为图中每个顶点v_i建立一个入边表的方法称逆邻接表表示法。
    入边表中的每个表结点均对应一条以v_i为终点(即射入v_i)的边。
【例】G₆的逆邻表如上面(b)图所示，其中v₀的人边表上两个表结点1和3分别表示射人v₀的两条边(简称为v₀的入边)：<v₁，v₀>和<v₃，v₀>。

 
  注意：
    　n个顶点e条边的有向图，它的接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。

5．邻接表的形式说明及其建表算法 
（1）邻接表的形式说明  
     typedef struct node{//边表结点
　　　　   int adjvex； //邻接点域
　　　　   struct node *next； //链域
　　　　　//若要表示边上的权，则应增加一个数据域
　　　}EdgeNode;
     typedef struct vnode{ //顶点表结点
　　　　   VertexType vertex； //顶点域
　　　　   EdgeNode *firstedge；//边表头指针
　　　 }VertexNode；
     typedef VertexNode AdjList[MaxVertexNum]；//AdjList是邻接表类型
      typedef struct{
　　　    AdjList adjlist；//邻接表
　　　    int n，e； 图中当前顶点数和边数 
　　　}ALGraph； //对于简单的应用，无须定义此类型，可直接使用AdjList类型。 

(2)建立无向图的邻接表算法
  void CreateALGraPh(ALGrahp *G)
    {//建立无向图的邻接表表示
      int i，j，k；
      EdgeNode *s；
      scanf("％d％d"，&G->n，&G->e)； //读人顶点数和边数
      for(i=0；i<G->n；i++){//建立顶点表
        G->adjlist[i].vertex=getchar()； //读入顶点信息
        G->adjlist[i].firstedge=NULL；//边表置为空表
       }
      for(k=0；k<G->e；k++){//建立边表
         scanf("％d％d"，&i,&j)；读入边(v_i，v_j)的顶点对序号
         s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode))； //生成边表结点
         s->adjvex=j; //邻接点序号为j
         s->next=G->adjlist[i].firstedge；
         G->adjlist[i].firstedge=s； //将新结点*s插入顶点v_i的边表头部
         s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode))；
         s->adjvex=i; //邻接点序号为i
         s->next=G->adjlist[j].firstedge；
         G->adjlistk[j].firstedge=s； //将新结点*s插入顶点v_j的边表头部
        }//end for 
   }CreateALGraph

    　该算法的时间复杂度是O(n+e)。
  注意：
　    ① 建立有向图的邻接表更简单，每当读人一个顶点对序号<i,j>时，仅需生成一个邻接序号为j的边表结点，将其插入到v_j的出边表头部即可。
    　② 建立网络的邻接表时，需在边表的每个结点中增加一个存储边上权的数据域。

图的两种存储结构比较

　　邻接矩阵和邻接表是图的两种最常用的存储结构，它们各有所长。下面从及执行某些常用操作的时间这两方面来作一比较。

 

图的遍历概念  http://sjjp.tjuci.edu.cn/sjjg/datastructure/ds/web/tu/tu7.1.1.htm

生成树和最小生成树