动态规划(01背包问题)

动态规划(01背包问题)

动态规划算法介绍

1)  动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2)  动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3)  与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

4)  动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

技巧:用一个表格来写出推算过程!!!

解决背包问题

问题详情:

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

思路分析和图解

1. 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
2. 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
3. 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。

图解:

 

 基本公式:

　　说明:(i是商品坐标,j是背包容量迭代的)

  v[j][0]=v[0][j]=0
  w[i]>j,v[i][j]=v[i-1][j]
  j>w[i],v[i][j]=math.max(v[i-1][j],val[i]+v[i-1][j-w[i]]

代码实现:

package com.edu.algorithm.动态规划;

/**
 * <p>
 * 使用动态规划解决背包问题[i是商品坐标][j是背包容量迭代的]
 * 公式:1.v[j][0]=v[0][j]=0
 *      2.w[i]>j,v[i][j]=v[i-1][j]
 *      3.j>w[i],v[i][j]=math.max(v[i-1][j],val[i]+v[i-1][j-w[i]])
 * </p>
 *
 * @作者 five-five
 * @创建时间 2020/9/1
 */
public class 背包问题 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1, 4, 3};
        int[] val = {1500, 3000, 2000};//就是v[i]
        int max = 4;
        //创建二维数组
        int[][] v = new int[w.length+1][max+1];//可以不初始化第一行和第一列
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0;//第一列设置为0
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0;//第一行设置为0
        }
        //根据公式动态规划
        for (int i=1;i<v.length;i++){
            for (int j=1;j<v[i].length;j++){
                if (j<w[i-1]){//不是直接拿最大值来计算(逐一分析)
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                }else {
                    v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                }
            }
        }
        //打印一下
        for (int[] i:v){
            for (int j : i) {
                if(j==0){
                    System.out.print(j+"		");
                }else
                System.out.print(j+"	");
            }
            System.out.println();
        }
    }

}