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  • 洛谷 P4139 上帝与集合的正确用法

    题目描述

    根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:

    第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。

    第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。

    第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。

    第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。

    如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

    然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……

    然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。

    至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?

    上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

    你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。

    一句话题意:

    求$2^2^2^2^{...} mod p$

    输入输出格式

    输入格式:

     

    第一行一个整数T,表示数据个数。

    接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值

     

    输出格式:

     

    T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值

     

    输入输出样例

    输入样例#1: 
    3
    2
    3
    6
    输出样例#1: 
    0
    1
    4

    说明

    对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7

    Solution:

    本题罗嗦了很多,实际上就是求222∞ mod p的值。

    我们直接想到使用扩展欧拉定理去降次:

    , 其中 phi()为欧拉函数。

    关于欧拉定理的一些知识见  关于扩展欧拉定理的证明

    那么本题我们直接递归调用该公式,phi(p)必定会一直变小,最后就是再套上快速幂的模板就行了。

    代码:

    #include <bits/stdc++.h>  
    #define il inline
    #define ll long long
    using  namespace  std;
    il int gi()
    {
        int a=0;char x=getchar();bool f=0;
        while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar();
        if(x=='-')x=getchar(),f=1;
        while(x>='0'&&x<='9')a=a*10+x-48,x=getchar();
        return f?-a:a;
    }
    il ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod)
    {  
        ll res=1;  
        while(n>0){  
            if(n&1)res=res*x%mod;  
                x=x*x%mod;  
                n>>=1;  
            }  
         return res;  
    }  
    il int euler_phi(int n)  
    {  
         int m=(int)sqrt(n+0.5);
         int ret=n; 
         for(int i=2;i<=m;++i)if(!(n%i))
            {  
                ret=ret/i*(i-1);
            while(!(n%i))n/=i;  
            }  
          if(n>1)ret=ret/n*(n-1); 
          return ret;  
    }      
    il ll f(int x)
    {  
          if(x==1)return 0;  
          int phi=euler_phi(x);  
          return pow_mod(2, f(phi)+phi, x);  
    }  
    int  main()
    {  
        int T,p;  
          scanf("%d",&T);  
        while(T--){scanf("%d",&p);  printf("%lld
    ",f(p));}  
        return 0;  
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/five20/p/8495200.html
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